العالم الكمومي يحب النظام، لكن الواقع غالبًا ما يُدخل الفوضى. في هذا العمل، يدرس الفيزيائيون سلاسل أحادية البعد من السبينات — وهي أسهم مغناطيسية صغيرة يمكن أن تتجه لأعلى أو لأسفل. عادةً، تُعرَّف الأطوار الطوبولوجية (حالات مستقرة محمية بالتناظر) للحالات النقية، حيث يكون كل سهم معروفًا بدقة. لكن إذا فُقد جزء من المعلومات، يُوصف النظام بحالة مختلطة — مثل صورة ضبابية تفتقر إلى التفاصيل الواضحة.
يستخدم الباحثون القنوات الكمومية — عمليات رياضية تحوّل الحالات، مثل مرشحات تسمح بمرور جزء فقط من الإشارة. ويقدمون معامل ترتيب لا يأخذ للحالات المختلطة إلا قيمًا صحيحة، تمامًا كما أن عدد لفات الخيط حول بكرة لا يمكن أن يكون إلا عددًا صحيحًا. ويتغير هذا المعامل فجأة عند الانتقال بين الأطوار، مما يشير إلى انتقال طوري طوبولوجي.
علاوة على ذلك، يوضح المؤلفون كيفية توليد أطوار مختلفة باستخدام تحويلات الإزاحة (الانسحاب) والانعكاس، حتى في وجود الفوضى. وهذا يعمم نظرية ليب-شولتز-ماتيس الشهيرة، التي كانت تتطلب سابقًا حالات نقية ووجود فجوة طاقية. الآن تعمل النظرية أيضًا للحالات المختلطة دون مفهوم الفجوة وحتى دون هاملتونيان للشبكة.
هذا النهج يشبه محاولة تمييز نقش على زجاج مغطى بالبخار: حتى لو كان جزء من الرسم مخفيًا، يبقى الهيكل العام واضحًا. وهكذا هنا: حتى عندما تكون المعلومات الكمومية مفقودة جزئيًا، يمكن كشف الخصائص الطوبولوجية وتصنيفها. ويفتح العمل طريقًا لدراسة الطوبولوجيا في الأنظمة المفتوحة التي تتفاعل مع البيئة — وهذا هو حال معظم الأجهزة الكمومية الحقيقية.
يمكن مقارنة الأطوار الطوبولوجية في الحالات المختلطة بشريط موبيوس: مهما ضغطته أو مددته، فإن خاصية 'الالتواء' لن تختفي ما لم تمزق الشريط.
في رواية غريغ إيغان «سلم شيلد»، تُستخدم الحالات الكمومية للسفر بين الأكوان، وقد يعني فقدان المعلومات كارثة — هذا العمل يتعلق بكيفية الحفاظ على النظام حتى مع الفقد.