في مصنع قديم، خلف الجدار، تدور آلة غير مرئية. لا نرى التروس، لكننا نسمع كيف تستجيب الأرضية والسقف على نحو مختلف لعملها: حين تطنّ الأرضية يتأخر استجابة السقف، وحين يطنّ السقف تجيب الأرضية على نحو مغاير. هذا اللاتماثل في الاستجابة يكشف أن في الداخل شيئًا ما يتآكل ويحترّ على نحو غير عكوس.

هكذا تقريبًا تُطرح مسألة من الديناميكا الحرارية العشوائية (stochastic thermodynamics). لدينا نظام صغير، مثل محرك جزيئي أو قناة أيونية، لا تسمح فيه الضوضاء الحرارية بقياس كل التفاصيل بدقة. لا يسجّل الجهاز إلا حالات خشنة: فبدلًا من الموضع المحدد للدوار نرى «يدور» أو «متوقف». ومن هذه المشاهدات الخشنة يصعب أن نقول كم من الطاقة يتبدد في صورة حرارة. يبيّن مؤلفو الورقة أن الحد الأدنى لهذا التبديد يمكن استخلاصه من عدم تماثل الارتباطات الزمنية المزدوجة بين كميتين قابلتين للرصد.

من الناحية الصورية تُدرس شبكات ماركوف (Markov networks) ذات الحالات المتقطعة، حيث تُدمج عدة حالات دقيقة في حالة وسطية واحدة. وفي الحالة المستقرة غير المتوازنة، حين تكون التدفقات ثابتة، يُعبَّر عن الحد الأدنى لسرعة إنتاج الإنتروبيا بدلالة عدم تماثل الارتباط ومقدار يُحسب من دوال الارتباط. وهذا الحد صالح لأي فاصل زمني. أما العمليات المعتمدة على الزمن، مثل الاسترخاء أو الإثارة الدورية، فيُستخرج حد مماثل في نهاية الفاصل الزمني المضمحل، أي عندما تتطابق لحظتان زمنيتان تقريبًا.

تُظهر الأمثلة العددية أن التقدير قد يلتقط ما يصل إلى 60% من إنتاج الإنتروبيا الكلي في شبكة رباعية الحالات ذات تحبيب خشن. وبالنسبة لجسيم على حلقة، حيث لا يُرى إلا نصف المسار، يبلغ جودة التقدير نحو نصف القيمة الحقيقية. وهذا قدر غير قليل إذا أخذنا في الحسبان أننا لا نعرف الديناميكية الخفية.

هذا المنهج قابل للتطبيق على بيانات تجريبية لا تتوافر فيها إلا سلاسل زمنية لعدة كميات ماكروسكوبية: في الفيزياء الحيوية للمحركات الجزيئية، وفي المصائد البصرية، وفي السلاسل المالية. ما زلنا لا نرى الآلة، لكننا الآن نستطيع أن نقدّر كم من الحرارة تبدد، بمجرد الإصغاء إلى كيفية استجابة أجزائها بعضها لبعض.