An eigenvalue is a scalar associated with a linear transformation that satisfies a specific equation.القيمة الذاتية هي عددي λ يحقق المعادلة Av = λv، حيث A تحويل خطي أو مصفوفة، و v متجه ذاتي غير معدوم. تعكس خواص التحويل الأساسية: تسمى مجموعة القيم الذاتية بالطيف. في الفيزياء، تمثل القيم الذاتية كميات قابلة للقياس (مثلاً الطاقة في الميكانيك الكمومي). الأثر والمحدد للمصفوفة يساويان مجموع وجداء القيم الذاتية على الترتيب.
نشأت مسألة القيم الذاتية عند أويلر في دراسة دوران الأجسام الصلبة (1765)، حيث أوجد المحاور الرئيسية للدوران (المتجهات الذاتية) وعزوم العطالة (المرتبطة بالقيم الذاتية). في القرن التاسع عشر، طبق كوشي القيم الذاتية على الأشكال التربيعية، وصاغ فايرشتراس النظرية. أدخل هيلبرت مصطلحي «eigenvalue» و«eigenvector» حوالي عام 1900. ظهر الارتباط بالميكانيك الكمومي في عشرينيات القرن الماضي، حين كتب شرودنغر معادلته الموجية كمسألة قيم ذاتية، حيث تقابل القيم الذاتية مستويات الطاقة.
من أجل مصفوفة مربعة A، المعادلة (A - λI)v = 0 تملك حلولًا غير معدومة v فقط إذا كان المحدد (A - λI) معدومًا، مما يعطي المعادلة المميزة. يعطي حل متعدد الحدود هذا القيم الذاتية. من أجل المصفوفات المتناظرة أو الهرميتية، تكون المتجهات الذاتية متعامدة والقيم الذاتية حقيقية — نتيجة المبرهنة الطيفية. في التحليل الدالي، تعمم المسألة إلى المؤثرات التفاضلية (نظرية شتورم-ليوفيل). تحسب القيم الذاتية عدديًا بالتكرارات الأسية وخوارزم QR. في الميكانيك الكمومي، المراقبات هي مؤثرات هرميتية، ونتيجة القياس هي إحدى القيم الذاتية، والمتجهات الذاتية هي الحالات.
يستخدم خوارزم PageRank من Google القيم الذاتية لترتيب صفحات الويب؛ يعتمد تحليل اهتزازات الجسور والمباني على القيم الذاتية لتجنب ترددات الرنين.
من إشارات القيم الذاتية لشكل تربيعي يمكن تحديد ما إذا كان الشكل قطع ناقص (كلتاهما موجبتين) أم قطع زائد (مختلفتا الإشارة).
| \mathbf{y} | متغير | output vector — vector |
| \mathbf{x} | متغير | input vector — vector |
| \mathbf{A} | متغير | linear transformation matrix — matrix |