Poincaré recurrence theorem asserts that certain systems will return arbitrarily close to their initial state after a sufficiently long time.مجموعة أوراق اللعب هي جملة ميكانيكية ذات عدد محدود من الحالات. عملية الخلط تغير الترتيب، لكن العدد الكلي للترتيبات الممكنة ثابت. عاجلاً أم آجلاً، سيتكرر أي تسلسل، وستعود المجموعة إلى شكلها الأولي. في عام 1890، نقل هنري بوانكاريه هذه الفكرة إلى الأنظمة الفيزيائية. لقد أثبت أنه في جملة مغلقة محافظة، حيث الطاقة محدودة، وفضاء الطور (phase space) (قاعة تخيلية متعددة الأبعاد، تمثل كل نقطة فيها جميع إحداثيات وسرعات الجسيمات) ذو حجم محدود، يقترب المسار عاجلاً أم آجلاً اقتراباً عشوائياً من نقطة البداية. إن زمن هذا العود هائل للغاية — بالنسبة لمول من الغاز في صندوق أحذية، يصل إلى 10 مرفوعاً للقوة 10²³ ثانية. هذا العدد لا يمكن كتابته في الكون المرئي. حلت مبرهنة بوانكاريه المفارقة: كيف يمكن لقوانين نيوتن الانعكاسية أن تؤدي إلى نمو غير انعكاسي للإنتروبيا (entropy). الجواب يكمن في مقاييس الزمن.
أثبت هنري بوانكاريه المبرهنة عام 1890 في أطروحته «حول مسألة الأجسام الثلاثة ومعادلات الديناميك». في تلك الفترة، شارك في مسابقة ملك السويد والنرويج أوسكار الثاني لحل مسألة استقرار النظام الشمسي. أثناء دراسته لمسألة الأجسام الثلاثة المقيدة، واجه بوانكاريه سلوكاً فوضوياً للمسارات وضرورة وصف مصيرها على المدى الطويل. تمكن من إظهار أن المسار في فضاء الطور لجملة مقيدة يعود عاجلاً أم آجلاً إلى جوار نقطة البداية. لاحقاً، تبين أن اعتبارات مماثلة طرحها سابقاً جيمس كليرك ماكسويل أثناء تأملاته في الديناميك الجزيئي، وكذلك لارس أونساغر في سياق الميكانيك الإحصائي. في القرن العشرين، اكتسبت المبرهنة أهمية أساسية لفهم العلاقة بين الديناميك المجهري الانعكاسي والديناميكا الحرارية غير الانعكاسية. كما تستند أعمال إيليا بريغوجين حول العمليات غير المتوازنة إلى مفهوم العود.
تجد المبرهنة تطبيقات في الميكانيك الإحصائي، والنظرية الإرجودية، ونظرية الأنظمة الديناميكية. عملياً، ترسم حدود تطبيق القانون الثاني للديناميكا الحرارية: يمكن لإنتروبيا جملة معزولة أن تنمو على فترات قصيرة مقارنة بزمن بوانكاريه، لكنها في النهاية يجب أن تعود إلى قيم منخفضة. في الفيزياء الفلكية، تُعتبر العمليات العودية للمدارات الفوضوية للأجرام السماوية، إلا أن المقاييس الزمنية تجعلها غير قابلة للرصد. في المعلوماتية الكمية، لا تختفي ذاكرة الحالة الابتدائية في جملة مغلقة تماماً، وهذا يُستخدم في بروتوكولات تصحيح الأخطاء.
تشرح المبرهنة لماذا لا تختفي رائحة العطر في غرفة معزولة بلا أثر، بل تتشتت فقط — ويمكنها أن تتجمع تلقائياً مرة أخرى في الزجاجة، رغم أن الانتظار سيستغرق وقتاً لا يمكن تصوره. عملياً، يحد هذا من قابلية تطبيق القانون الثاني للديناميكا الحرارية (second law of thermodynamics) على الجمل المغلقة.
حاول إرنست تسيرميلو دحض بولتزمان باستخدام هذه المبرهنة: إذا كان كل شيء يعود، فلا يمكن للإنتروبيا أن تنمو إلى الأبد. رد بولتزمان قائلاً: «سيكون وقت الانتظار طويلاً لدرجة أنه بحلول لحظة العود، يكون أي كائن حي قد تجدد عدداً لا نهائياً من المرات».