Un fractal con forma de mariposa esconde un orden que no se aprecia a simple vista. En el mundo cuántico de los cristales cuasiperiódicos unidimensionales descritos por el modelo de Komoto, el espectro de energías dibuja una figura caprichosa: la mariposa de Komoto. Durante mucho tiempo no se logró colorear por completo: a cada brecha del espectro había que asignarle un número entero, un índice topológico, pero las herramientas estándar fallaban debido al potencial discontinuo. Los números de Chern, habituales en sistemas suaves, simplemente no están definidos aquí.

La genealogía de la cuasiperiodicidad es la clave que proponen los autores. Construyen un árbol dirigido infinito, donde cada vértice corresponde a una banda espectral o a una brecha en la aproximación periódica del operador cuasiperiódico. Este árbol crece a partir de los dígitos de la fracción continua del número irracional que define la cuasiperiodicidad. Siguiendo los caminos en este árbol, se puede asignar un índice unívoco a cada brecha: para cada vértice se calcula una matriz Q y, a partir de su determinante, se obtiene un número entero. La ambigüedad que antes permitía un desplazamiento igual al denominador de la aproximación desaparece.

El resultado es impresionante: el diagrama de fases queda completamente coloreado. A cada brecha del espectro se le asigna ahora un índice entero unívoco, y el orden de estos índices sigue la estructura del árbol. A diferencia de la mariposa de Hofstadter, el complemento de la mariposa de Komoto consta de un único componente conexo, por lo que los índices no están ligados a regiones aisladas. Las fases rojas pueden terminar sin que la brecha se cierre de forma continua, un comportamiento que contradice la intuición proveniente de los modelos suaves. Esto es una demostración matemática rigurosa, no un experimento numérico.

La utilidad práctica ya se vislumbra. Los experimentalistas que crean cuasicristales en redes fotónicas o en sistemas de átomos ultrafríos ahora pueden predecir con precisión en qué sistema finito aparecerá el índice topológico deseado. El método de los árboles espectrales abre el camino hacia la clasificación de otros modelos cuasiperiódicos y hacia la demostración rigurosa de la equivalencia entre las mariposas de Komoto y de Hofstadter. La cuestión de la clasificación topológica completa de todos los operadores cuasiperiódicos sigue abierta, pero este trabajo es un paso importante.