Normalmente pensamos que las coordenadas de un punto son simplemente números: primero x, luego y, y no importa en qué orden se multipliquen. Pero en algunas teorías, a escalas muy pequeñas donde el propio concepto de punto se desdibuja, las coordenadas se convierten en matrices. Entonces su producto depende del orden: x·y no es igual a y·x. Esto se llama no conmutatividad. Antes no estaba claro si se podía notar tal estructura cuando las partículas individuales se comportan de manera habitual. Resulta que sí se puede, si observamos dos partículas a la vez.
Los autores consideraron una fuente que emite dos partículas una tras otra. Cada una vuela hacia su observador: Alicia y Bob. Cuando las partículas intercambian sus posiciones, en su estado conjunto aparece un giro adicional, una fase que depende de sus momentos. Esa fase es la huella de la no conmutatividad. Si los momentos se eligen adecuadamente —sus diferencias no son paralelas— la fase es distinta de cero. Entonces Alicia y Bob, al realizar mediciones, obtienen correlaciones que violan la desigualdad de Bell. Esto significa que las partículas están entrelazadas y una explicación clásica es imposible. La magnitud de la violación depende directamente del parámetro de no conmutatividad.
Antes se pensaba que la geometría no conmutativa era una abstracción pura que no se podía verificar. Ahora se ve que deja una huella en la estadística de las mediciones. Es cierto que técnicamente tal experimento aún no es factible, pero el criterio ya existe. Si algún día se logra realizar, mostrará si el espacio está realmente torcido en el nivel más profundo.
Si las diferencias de momentos de Alicia y Bob son paralelas, la fase χ_θ se anula — y la no conmutatividad no puede verse, por grande que sea. Se necesita precisamente la geometría bidimensional de los modos de momento.