En 1953, le mathématicien Alexandre Grothendieck a démontré un théorème qui est devenu une pierre angulaire de la théorie des produits tensoriels. Il affirme que pour les espaces de fonctions ordinaires, deux normes naturelles — la projective et l'injective — sont équivalentes à une constante universelle près. Autrement dit, deux manières de mesurer la « taille » des combinaisons de vecteurs donnent des résultats proches.
Les décennies ont passé, et les mathématiciens ont tenté de transposer cette idée au monde plus subtil des espaces d'opérateurs — des structures où les vecteurs possèdent une sorte de « graduation matricielle ». Ici, le théorème de Grothendieck ne s'applique pas. En 2023, un contre-exemple explicite a été trouvé, mais son lien avec la réalité restait une énigme — jusqu'à ce que les jeux quantiques s'en mêlent.
Les auteurs de la nouvelle étude ont traduit le problème du prix d'un tel jeu dans le langage des espaces d'opérateurs. Le prix sans signal — ce que les joueurs peuvent atteindre en utilisant toutes les corrélations possibles, mais sans échange de signaux — s'est avéré être exactement égal à l'une des normes tensorielles. Et là, une surprise : le fameux contre-exemple au théorème de Grothendieck pour les espaces d'opérateurs n'est autre qu'un jeu quantique concret avec un grand écart entre le prix sans signal et le prix quantique. Les mathématiques pures et l'information quantique se sont mises à parler le même langage.
Ce n'est pas une coïncidence élégante. Les auteurs ont obtenu de nouvelles bornes supérieures pour l'écart entre le prix sans signal et le prix quantique — montrant ainsi à quel point les corrélations sans signaux peuvent être plus fortes que celles autorisées par la mécanique quantique. Ces estimations améliorent tout ce qui était connu auparavant et ouvrent la voie à une compréhension plus profonde des limites des corrélations quantiques.
Le théorème de Grothendieck, démontré en 1953, concernait à l'origine les espaces de Banach et n'avait aucun lien avec la physique quantique. Le lien avec les corrélations quantiques n'a été découvert qu'un demi-siècle plus tard — et il réserve encore des surprises.