Un opérateur qui mesure à quel point deux opérateurs quantiques ne commutent pas, ici appliqué à un champ scalaire.En mécanique quantique, le commutateur de deux opérateurs A et B est défini par [A, B] = AB - BA. Il mesure à quel point l'ordre des opérations importe. Si le commutateur est nul, les opérateurs commutent, ce qui signifie que leurs observables physiques peuvent être mesurées simultanément avec une précision arbitraire. S'il est non nul, les opérateurs ne commutent pas, ce qui conduit à des relations d'incertitude fondamentales — la plus célèbre étant celle entre la position et l'impulsion. Dans le contexte d'un champ scalaire, le commutateur de l'opérateur de champ en deux points distincts de l'espace-temps encode la structure causale de la théorie : si les points sont séparés par un intervalle de genre espace, le commutateur s'annule, garantissant que les mesures en un point ne peuvent pas influencer l'autre, préservant ainsi la relativité.
Le concept de commutateur en mécanique quantique a été introduit par Max Born et Pascual Jordan en 1925, puis formalisé par Paul Dirac. L'extension aux champs quantiques a été développée à la fin des années 1920 et dans les années 1930 par Werner Heisenberg, Wolfgang Pauli et d'autres.
Pour un champ scalaire φ(x), le commutateur [φ(x), φ(y)] n'est pas simplement un nombre mais un opérateur. Sa valeur moyenne dans l'état de vide donne une fonction qui est nulle lorsque x et y sont séparés par un intervalle de genre espace, et non nulle lorsqu'ils sont séparés par un intervalle de genre temps ou lumière. Cette propriété est dérivée des équations du mouvement du champ et des relations de commutation canoniques imposées à temps égaux. Le commutateur indique essentiellement comment une perturbation du champ en un point se propage à un autre : si les points sont causalement connectés, le commutateur est non nul, reflétant la possibilité d'influence ; sinon, il est exactement nul, imposant la localité.
Les commutateurs sont fondamentaux en théorie quantique des champs, où ils sont utilisés pour dériver le propagateur de Feynman, qui décrit comment les particules se déplacent et interagissent. Ils sous-tendent également le principe d'incertitude, essentiel pour comprendre la mesure quantique et les limites de précision dans des technologies comme la cryptographie quantique.
L'annulation du commutateur pour des séparations de genre espace est si importante qu'elle est souvent appelée condition de « microcausalité », et c'est l'une des rares contraintes rigoureuses que toute théorie quantique des champs relativiste doit satisfaire.
| ρ | variable | density matrix of the open quantum system — matrice de densité |
| t | variable | time — temps second |
| H | variable | Hamiltonian of the system — hamiltonien joule |
| L_n | variable | Lindblad operators (jump operators) for each dissipation channel — lindblad operator |
| i | constante | imaginary unit, square root of -1 — unité imaginaire = 1 |
| ħ | constante | Planck constant divided by 2π — constante de Planck réduite = 1.054571817e-34 joule second |
| d/dt | opérateur | derivative with respect to time — dérivée temporelle |
| [H, ρ] | opérateur | commutator of H and ρ — commutateur |
| {L_n† L_n, ρ} | opérateur | anticommutator of L_n† L_n and ρ — anticommutator |
| ∑_n | opérateur | sum over all dissipation channels — sum over channels |
| H_eff | variable | effective static Hamiltonian — hamiltonien joule |
| H_0 | variable | time-averaged Hamiltonian — hamiltonien joule |
| H_{-1} | variable | first negative Fourier component of the Hamiltonian — hamiltonien joule |
| H_{+1} | variable | first positive Fourier component of the Hamiltonian — hamiltonien joule |
| frequency | variable | driving frequency — fréquence angulaire radian per second |
| [ , ] | opérateur | measures the non-commutativity of two operators — commutateur |
