Lorsque la lumière s'éloigne d'un corps massif, elle perd de l'énergie : ses ondes s'étirent, sa couleur se déplace vers le rouge. C'est le décalage vers le rouge gravitationnel, connu depuis les travaux d'Einstein. Mais au niveau quantique, un photon n'est pas simplement une onde, c'est un paquet d'énergie que l'on peut décrire par un ensemble de paramètres : par exemple, la phase initiale et le « poids » de la superposition (à quel point la particule se trouve dans deux états à la fois). Le problème, c'est que tout canal de communication réel ou tout dispositif expérimental introduit du bruit.
Les auteurs ont considéré deux types de bruit : l'atténuation d'amplitude (comme si une partie des photons se perdait en chemin) et la déphasage (lorsque des chocs aléatoires perturbent la synchronisation de l'onde). Dans les deux cas, la limite quantique standard de Cramer-Rao — l'outil habituel pour estimer la précision — cesse de fonctionner pour deux paramètres à la fois. Elle donne une image trop optimiste. Les scientifiques se sont alors tournés vers des bornes plus strictes : celles de Holevo et de Nagaoka. Leur calcul n'est pas une mince affaire, et il a fallu recourir à la programmation semi-définie (une méthode qui résout des systèmes complexes d'inégalités). Il s'avère que la borne de Nagaoka est la plus stricte, la plus proche de la réalité.
Lorsqu'un troisième paramètre entre en jeu — la force même du décalage vers le rouge gravitationnel —, le tableau change. En cas de couplage fort avec le canal de bruit, la précision de l'estimation des trois paramètres augmente nettement. Pour la déphasage, la « mémoire » du milieu compte aussi : si le bruit s'atténue lentement (régime subohmique), les mesures sont plus précises que s'il s'estompe rapidement (régime superohmique).
La frontière de Nagaoka, utilisée ici, a été proposée en 1989, mais elle est longtemps restée dans l'ombre de méthodes plus simples. Ce n'est qu'avec le développement de la puissance de calcul qu'elle a commencé à être appliquée en pratique.
Dans le roman « La Lumière des étoiles lointaines », les astronautes utilisent des mesures quantiques de la lumière déformée pour déterminer à quel point l'espace est courbé autour d'un trou noir.