équation

formule du rayonnement quadrupolaire

The quadrupole radiation formula calculates the gravitational wave emission from accelerating mass distributions.
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Description

La formule du rayonnement quadrupolaire découle des équations d'Einstein dans l'approximation des champs faibles. La gravitation, tout comme l'électromagnétisme, est capable de produire des ondes, mais avec une différence importante : un dipôle électrique (paire de charges + et -) rayonne de manière dipolaire, alors qu'en gravitation, le rayonnement dipolaire est interdit en raison de la loi de conservation de l'impulsion. Le premier terme autorisé est le quadrupolaire. Cela ressemble au son : une sphère pulsant uniformément est silencieuse, tandis qu'une sphère qui s'aplatit et s'allonge émet un son. Einstein en a pris conscience en 1916, mais ce n'est que dans les années 1970 que la formule a été peaufinée pour les calculs astrophysiques.

Histoire

L'idée des ondes gravitationnelles est apparue chez Albert Einstein en 1916, mais il a initialement dérivé une formule pour le cas le plus simple d'un haltère en rotation. En 1918, il a corrigé les erreurs et montré que le rayonnement gravitationnel a précisément un caractère quadrupolaire. Dans les années 1960-70, avec la découverte des pulsars, la formule a été affinée et rigoureusement dérivée dans les travaux de scientifiques comme Richard Feynman (qui l'expliquait par la « perle collante ») et Kip Thorne (qui a développé la théorie de la détection). Aujourd'hui, elle est à la base de l'astronomie des ondes gravitationnelles.

Comment ça marche

La formule est cruciale pour calculer l'évolution des systèmes binaires serrés composés d'étoiles à neutrons ou de trous noirs. Elle prédit la forme du signal d'onde (chirp) grâce auquel LIGO et Virgo identifient les événements de fusion. Les limites d'application sont les champs faibles et les mouvements lents (v << c), près des trous noirs un calcul numérique complet de la relativité numérique est nécessaire. La formule ne fonctionne pas non plus pour les systèmes isolés axisymétriques, où le quadrupôle ne change pas.

En pratique

Grâce à elle, les astrophysiciens calculent le moment de la fusion des trous noirs, et les détecteurs LIGO sont réglés pour rechercher précisément ce motif — sans elle, les ondes gravitationnelles auraient été prédites mais non identifiées.

Anecdote

Le célèbre pulsar binaire PSR B1913+16, découvert par Hulse et Taylor, décroît exactement selon la formule quadrupolaire, ce qui leur a valu le prix Nobel.

Concept graph →

Formules

$$h_{ij}^{\text{TT}} = \frac{2G}{c^4 D} \frac{d^2 I_{ij}}{dt^2}$$
Gravitational wave strain from mass quadrupole moment.
Ce qu'il y a dans la formule
h_{ij}^{\text{TT}}variableTransverse-traceless gravitational wave strain tensor — déformation d'onde gravitationnelle
DvariableDistance from source to observer — distance metre
I_{ij}variableMass quadrupole moment tensor — mass quadrupole moment kilogram metre squared
tvariableTime — temps second
GconstanteConstant of gravitation in Newton's law — constante gravitationnelle = 6.67430e-11 cubic metre per kilogram per second squared
cconstanteUniversal speed limit and speed of light in vacuum — vitesse de la lumière = 299792458 metre per second
d^2/dt^2opérateurSecond derivative with respect to time — second time derivative
h_{ij}^{{tt}}=\frac{2g}{c^4d}\frac{d^2i_{ij}}{dt^2} · 2605.01216v1
h_{ij}^{tt}=\frac{2g}{c^4r}\ddot{q}_{ij}^{tt} · 2607.03904
$$A = \arccos(-\tan \phi \tan \delta)$$
Calculates sunrise azimuth from latitude and solar declination.
Ce qu'il y a dans la formule
AvariableSunrise azimuth angle — azimuth angle radian
φvariableLatitude of observer — latitude radian
δvariableSolar declination — solar declination radian
arccosopérateurInverse cosine function — arccosine
tanopérateurTangent function — tangent
a=\arccos(-\tanφ\tanδ) · 2607.14201
$$v_c = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$
Gives orbital speed for circular motion under gravity.
Ce qu'il y a dans la formule
v_cvariableCircular orbital speed — vitesse metre per second
MvariableMass of the central body — masse kilogram
rvariableOrbital radius (distance from center of mass) — rayon metre
GconstanteUniversal constant of gravitation, determining the strength of gravitational force. — constante gravitationnelle = 6.67430e-11 cubic metre per kilogram per second squared
v_c\approx\sqrt{\frac{gm_\star}{r}} · 2606.25022
$$v_{\rm esc} = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$$
Escape velocity from gravitational potential.
Ce qu'il y a dans la formule
v_escvariableescape velocity — vitesse metre per second
Mvariablemass of the gravitating body — masse kilogram
rvariabledistance from the center of mass — rayon metre
GconstanteUniversal constant of gravitation, determining the strength of gravitational force. — constante gravitationnelle = 6.67430e-11 cubic metre per kilogram per second squared
v_{\rmesc}\approx66(\frac{m_{\rmcl}}{10^6m_\odot})^{1/2}(\frac{r_h}{4{пк}})^{-1/2}{км/с} · 2607.05495v1

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