Une goutte d'encre se répand dans un verre d'eau : ses bords se déplacent plus vite que son centre, et la forme de la goutte change. De même, un amas de matière noire qui s'effondre sous son propre poids se dilate de manière non uniforme : ses différentes coquilles s'éloignent à des vitesses différentes. Auparavant, les astrophysiciens ne savaient décrire précisément que le cas le plus simple, celui d'une sphère homogène avec une frontière nette, qui a un seul taux d'expansion. Mais les amas réels sont lisses : la densité décroît progressivement du centre vers le bord, et chaque coquille ressent sa propre attraction.
Les auteurs introduisent deux nombres pour chaque point : le contraste local, c'est-à-dire à quel point la densité ici est supérieure à la moyenne de l'Univers, et le contraste interne, c'est-à-dire à quel point la densité de tout ce qui se trouve à l'intérieur de ce point est supérieure à la moyenne. Il s'avère que la vitesse d'expansion transverse ne dépend que du contraste interne, tandis que la vitesse radiale dépend en plus de la différence entre les contrastes local et interne. Cette différence montre précisément à quel point la densité varie fortement d'un point à l'autre : si elle est grande, les coquilles s'étirent davantage.
Pour des estimations rapides, une approximation simple à trois termes est proposée, qui ne se trompe pas de plus de 0,7 % dans une large gamme de cosmologies. Cela signifie qu'au lieu de longs calculs sur ordinateur, on peut obtenir instantanément les vitesses pour un profil de densité donné. Auparavant, pour chaque nouveau profil, il fallait résoudre à nouveau les équations du mouvement ; désormais, il suffit de substituer les nombres dans une formule toute prête.
Utilité pratique : dans les simulations cosmologiques et les modèles analytiques de formation des structures, on a souvent besoin de profils sphériques. Ce nouveau résultat permet de calculer rapidement les vitesses sans avoir à résoudre à nouveau la dynamique, ce qui fait gagner du temps et simplifie l'interprétation des données sur les vitesses particulières des galaxies.
La goutte d'encre dans le verre revient à l'esprit : désormais, son étalement peut être décrit par une seule fonction, en connaissant simplement la distribution de l'encre à chaque instant. De même, l'expansion d'un amas de matière noire est entièrement déterminée par le profil de densité et une fonction universelle, identique pour toutes les formes sphériques lisses.
Pour une coquille dans la paroi d'un vide, le contraste local peut être positif tandis que le contraste interne est négatif : la coquille est plus dense que la moyenne, mais à l'intérieur il y a toujours un déficit de masse. C'est cette différence qui pilote l'anisotropie de l'expansion.