Opérateur trace — anatomie d'une formuleL'opérateur trace est une fonction mathématique qui prend une matrice carrée et renvoie la somme de ses éléments diagonaux. En physique, il apparaît constamment en mécanique quantique et en mécanique statistique, où il fournit un moyen de calculer les valeurs moyennes et les probabilités à partir des matrices densité. La trace est invariante par changement de base, ce qui signifie qu'elle capture les propriétés intrinsèques d'une application linéaire plutôt que des artefacts d'un système de coordonnées particulier.
Le concept de trace remonte au XIXe siècle, avec des utilisations précoces dans la théorie des matrices par des mathématiciens comme Arthur Cayley et James Joseph Sylvester. Son application systématique en physique s'est développée avec l'avènement de la mécanique quantique dans les années 1920.
Pour une matrice A de coefficients A_ij, la trace est définie par tr(A) = Σ_i A_ii. Cette somme simple possède des propriétés puissantes : tr(AB) = tr(BA) pour deux matrices quelconques (même si AB et BA peuvent différer), et tr(UAU⁻¹) = tr(A) pour toute matrice inversible U. En mécanique quantique, la valeur moyenne d'une observable O dans un état décrit par la matrice densité ρ est ⟨O⟩ = tr(ρO), et la trace de ρ elle-même est toujours égale à 1 pour un état normalisé.
L'opérateur trace est essentiel en informatique quantique pour simuler des circuits quantiques, en physique de la matière condensée pour calculer les fonctions de partition, et en apprentissage automatique pour la factorisation de matrices et la régularisation.
La trace d'une matrice est égale à la somme de ses valeurs propres, comptées avec leur multiplicité, ce qui explique sa présence dans le polynôme caractéristique et dans la définition du déterminant.
| U | variable | First unitary matrix — unitary matrix |
| V | variable | Second unitary matrix — unitary matrix |
| N | variable | Dimension of the Hilbert space — dimension |
| Tr | opérateur | Sum of diagonal elements of a matrix — opérateur trace |
| † | opérateur | Conjugate transpose of a matrix — hermitian conjugate |
| | | | opérateur | Magnitude of a complex number — valeur absolue |
| ρ | variable | density operator of the first quantum state — density operator |
| σ | variable | density operator of the second quantum state — density operator |
| tr | opérateur | sums diagonal elements of an operator in any basis — opérateur trace |
| log | opérateur | takes the operator logarithm, defined via spectral decomposition — matrix logarithm |
| S | variable | von Neumann entropy — entropie joule per kelvin |
| ρ | variable | density matrix of the quantum state — matrice de densité |
| tr | opérateur | sums diagonal elements of a matrix — opérateur trace |
| ln | opérateur | takes the natural logarithm — logarithme naturel |
| A | variable | Operator whose expectation is taken — operator |
| ρ | variable | Density matrix (quantum state) — matrice de densité |
| Tr | opérateur | Computes the sum of diagonal elements of a matrix — opérateur trace |
| F | variable | Quantum fidelity between states — fidélité |
| ρ | variable | Density matrix of first quantum state — matrice de densité |
| σ | variable | Density matrix of second quantum state — matrice de densité |
| Tr | opérateur | Sum of diagonal elements of a matrix — opérateur trace |
| √ | opérateur | Principal square root of a positive semidefinite matrix — matrix square root |
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