dérivée temporelle — anatomie d'une formuleLa dérivée temporelle est une opération mathématique qui mesure la rapidité avec laquelle une quantité varie au cours du temps. En physique, elle apparaît partout : la vitesse est la dérivée temporelle de la position, l'accélération est la dérivée temporelle de la vitesse, et le taux de variation de l'énergie, de la quantité de mouvement ou de tout autre observable s'exprime par sa dérivée temporelle. C'est le langage de la dynamique, qui encode les règles du mouvement et de l'évolution des systèmes physiques.
Le concept de dérivée a été développé indépendamment par Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz à la fin du XVIIe siècle. Newton l'appelait « fluxion » et l'utilisait dans ses lois du mouvement.
Formellement, la dérivée temporelle d'une fonction f(t) est définie comme la limite du rapport [f(t+Δt) − f(t)]/Δt lorsque Δt tend vers zéro. Cela donne le taux de variation instantané à un instant donné. En pratique, les physiciens l'utilisent dans les équations différentielles, comme la deuxième loi de Newton (F = m·d²x/dt²) ou l'équation de Schrödinger, où la dérivée temporelle de l'état quantique détermine comment cet état évolue.
Les dérivées temporelles sont utilisées dans toutes les simulations de systèmes physiques, de la prédiction des orbites planétaires à la modélisation des circuits électriques et des phénomènes météorologiques.
En mécanique quantique, la dérivée temporelle d'un observable n'est pas toujours simplement le taux de variation de sa valeur moyenne — elle implique aussi le commutateur avec le hamiltonien.
| ρ | variable | density matrix of the open quantum system — matrice de densité |
| t | variable | time — temps second |
| H | variable | Hamiltonian of the system — hamiltonien joule |
| L_n | variable | Lindblad operators (jump operators) for each dissipation channel — lindblad operator |
| i | constante | imaginary unit, square root of -1 — unité imaginaire = 1 |
| ħ | constante | Planck constant divided by 2π — constante de Planck réduite = 1.054571817e-34 joule second |
| d/dt | opérateur | derivative with respect to time — dérivée temporelle |
| [H, ρ] | opérateur | commutator of H and ρ — commutateur |
| {L_n† L_n, ρ} | opérateur | anticommutator of L_n† L_n and ρ — anticommutator |
| ∑_n | opérateur | sum over all dissipation channels — sum over channels |
| q | variable | Deceleration parameter — deceleration parameter |
| a | variable | Scale factor of the universe — facteur d'échelle |
| t | variable | Cosmic time — temps second |
| d/dt | opérateur | Computes the rate of change over time — dérivée temporelle |
| d^2/dt^2 | opérateur | Computes the acceleration over time — second time derivative |
| r | variable | radial coordinate (distance from center) — rayon metre |
| M(r) | variable | enclosed mass within radius r — masse kilogram |
| k | variable | constant of motion (related to energy per unit mass) — specific energy metre squared per second squared |
| G | constante | Newtonian constant of gravitation, fundamental strength of gravity — constante gravitationnelle = 6.67430e-11 cubic metre per kilogram per second squared |
| ˙ | opérateur | derivative with respect to time — dérivée temporelle |
| L_H | variable | Instantaneous non-thermal emission (luminosity) — luminosité watt |
| L_S | variable | Plasma heating rate (energy per time) — puissance watt |
| \frac{d}{dt} | opérateur | Computes the rate of change with respect to time — dérivée temporelle |
| I | variable | information flow between subsystems — information flow bit per second |
| σ | variable | entropy production rate — entropy production rate joule per kelvin second |
| A | variable | activity (a measure of dynamical activity in the system) — activity per second |
| β | variable | inverse temperature (1/k_B T) — inverse temperature per joule |
| |·|² | opérateur | squared magnitude — absolute value squared |
| d/dt | opérateur | derivative with respect to time — dérivée temporelle |
| concentration | variable | local concentration of the diffusing species — concentration mole per cubic metre |
| t | variable | time — temps second |
| flux | variable | diffusive flux vector — diffusive flux mole per square metre per second |
| d/dt | opérateur | rate of change with respect to time — dérivée temporelle |
| divergence | opérateur | measures the net outflow of a vector field per unit volume — divergence operator |
