opérateur intégral — anatomie d'une formuleUn opérateur intégral est une application mathématique qui prend une fonction et en produit une autre en l'intégrant contre un noyau. En physique, les opérateurs intégraux apparaissent dans de nombreuses équations fondamentales, telles que l'équation de Schrödinger sous sa forme intégrale, l'équation de Lippmann-Schwinger pour la diffusion, et les équations de Fredholm de première et de seconde espèce. Ils sont essentiels pour décrire les interactions non locales, où la valeur d'un champ en un point dépend de ses valeurs sur une région.
Les opérateurs intégraux ont été systématiquement étudiés à la fin du XIXe et au début du XXe siècle par Vito Volterra, Erik Ivar Fredholm et David Hilbert, ce qui a conduit au développement de l'analyse fonctionnelle. Leur application à la physique s'est développée avec la mécanique quantique dans les années 1920.
Étant donné un noyau K(x, y) et une fonction f(y), l'opérateur intégral agit comme (Tf)(x) = ∫ K(x, y) f(y) dy. Le noyau encode l'interaction ou la propagation entre les points y et x. La résolution d'équations avec des opérateurs intégraux implique souvent de discrétiser l'intégrale en un problème matriciel, ou d'utiliser des méthodes itératives comme la série de Neumann. Les propriétés du noyau (symétrie, positivité, décroissance) déterminent le spectre de l'opérateur et le comportement des solutions.
Utilisé en théorie de la diffusion quantique, en calcul de champs électromagnétiques, et dans les algorithmes de reconstruction d'images comme ceux des scanners.
Le noyau d'un opérateur intégral en mécanique quantique est souvent la fonction de Green, qui représente physiquement l'amplitude de probabilité pour une particule de se déplacer d'un point à un autre.
| S | variable | Action — action joule second |
| g | variable | Determinant of the metric tensor — metric determinant |
| R | variable | Ricci scalar curvature — ricci scalar reciprocal metre squared |
| d^4x | variable | Four-dimensional spacetime volume element — spacetime volume element metre to the fourth |
| G | constante | Newton's constant of universal gravitation — constante gravitationnelle = 6.67430e-11 cubic metre per kilogram per second squared |
| \int | opérateur | Integration over spacetime — opérateur intégral |
| Z | variable | Bayesian evidence (marginal likelihood) — évidence bayésienne |
| Θ | variable | Parameter vector — parameter vector |
| L(Θ) | variable | Likelihood function — likelihood function |
| π(Θ) | variable | Prior probability density — prior probability density |
| ∫ | opérateur | Integration over parameter space — opérateur intégral |
| dΘ | opérateur | Infinitesimal volume element — volume element |
| S_E | variable | Euclidean action — action joule second |
| L_E | variable | Euclidean Lagrangian — Lagrangien joule |
| τ | variable | Euclidean time — temps second |
| ∫ | opérateur | Integration over Euclidean time — opérateur intégral |
| dτ | opérateur | Infinitesimal time element — differential element |
| D_{KL} | variable | Kullback-Leibler divergence — information divergence |
| P(x) | variable | probability density of distribution P — probability density |
| Q(x) | variable | probability density of distribution Q — probability density |
| x | variable | random variable — variable aléatoire |
| \int | opérateur | sums the integrand over all values of x — opérateur intégral |
| \log | opérateur | computes the logarithm of the ratio — logarithme |
| n_e | variable | electron number density — densité électronique per cubic metre |
| B_parallel | variable | magnetic field component along line of sight — densité de flux magnétique tesla |
| dl | variable | infinitesimal path element along line of sight metre |
| e | constante | elementary charge — charge élémentaire = 1.602176634e-19 coulomb |
| m_e | constante | electron rest mass — masse de l'électron = 9.1093837015e-31 kilogram |
| c | constante | speed of light in vacuum — vitesse de la lumière = 299792458 metre per second |
| ∫ | opérateur | summation over the line of sight — opérateur intégral |
| n_e(z') | variable | electron number density at redshift z' — densité électronique per cubic metre |
| z | variable | source redshift — décalage vers le rouge |
| z' | variable | integration variable redshift — décalage vers le rouge |
| c | constante | speed of light in vacuum — vitesse de la lumière = 299792458 metre per second |
| ∫ | opérateur | summation over redshift from 0 to z — opérateur intégral |
