vecteur unitaire — anatomie d'une formuleUn vecteur unitaire est un vecteur dont la norme est exactement égale à un, utilisé pour indiquer une direction sans aucune contribution à la norme. Il est généralement noté avec un chapeau (par exemple, r̂, θ̂, φ̂) et est défini comme tout vecteur divisé par sa propre longueur : v̂ = v/|v|. Les vecteurs unitaires constituent la base pour construire des systèmes de coordonnées, tels que cartésien (î, ĵ, k̂), sphérique (r̂, θ̂, φ̂) et cylindrique (ρ̂, φ̂, ẑ), et ils permettent de décomposer des grandeurs physiques comme la vitesse et la force en composantes directionnelles.
Le concept de vecteur unitaire est apparu avec le développement de l'analyse vectorielle au XIXe siècle, notamment grâce aux travaux de Josiah Willard Gibbs et d'Oliver Heaviside, qui ont formalisé la notation vectorielle pour la physique.
En pratique, un vecteur unitaire s'obtient en normalisant un vecteur : on divise chaque composante par la norme euclidienne du vecteur. Dans les coordonnées curvilignes, les vecteurs unitaires dépendent de la position ; par exemple, en coordonnées sphériques, r̂ pointe radialement vers l'extérieur, tandis que θ̂ et φ̂ changent de direction lorsque l'on se déplace. Cette propriété est cruciale pour exprimer correctement les dérivées comme le gradient et la divergence dans les systèmes non cartésiens.
Les vecteurs unitaires sont utilisés partout en physique et en ingénierie : en mécanique pour définir les directions des forces et des vitesses, en électromagnétisme pour exprimer les champs, et en infographie pour les normales de surface et les calculs d'éclairage.
En mécanique quantique, le vecteur unitaire dans l'espace de Hilbert représente un état pur, et sa condition de normalisation (⟨ψ|ψ⟩ = 1) est un analogue direct de la norme unitaire du vecteur classique.
| \vec{v}_{\text{sky}} | variable | tangential (sky-projected) velocity — vitesse metre per second |
| \vec{v} | variable | total velocity vector — vitesse metre per second |
| \hat{d} | variable | unit vector along the line of sight — vecteur unitaire |
| \cdot | opérateur | scalar product of two vectors — produit scalaire |
| A | variable | Polarization vector — polarization vector |
| Δ | variable | Amplitude of the field — amplitude volt per metre |
| e_x | variable | Unit vector along x-axis — vecteur unitaire |
| e_y | variable | Unit vector along y-axis — vecteur unitaire |
| i | opérateur | Complex number with square -1 — unité imaginaire |
| m_1 | variable | mass of the first compact object — masse kilogram |
| m_2 | variable | mass of the second compact object — masse kilogram |
| \boldsymbol{\chi}_1 | variable | dimensionless spin vector of the first object — dimensionless spin |
| \boldsymbol{\chi}_2 | variable | dimensionless spin vector of the second object — dimensionless spin |
| \boldsymbol{L} | variable | unit vector along orbital angular momentum — vecteur unitaire |
| \cdot | opérateur | computes the scalar projection of one vector onto another — produit scalaire |
| \mathbf{F} | variable | gravitational force vector — force newton |
| m_1 | variable | mass of first object — masse kilogram |
| m_2 | variable | mass of second object — masse kilogram |
| r | variable | distance between the centers of mass — distance metre |
| \hat{\mathbf{r}} | variable | unit vector pointing from one mass to the other — vecteur unitaire |
| G | constante | Newtonian gravitational constant, fundamental constant of gravitation — constante gravitationnelle = 6.67430e-11 cubic metre per kilogram per second squared |
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