Le logarithme népérien, noté ln(x), est le logarithme de base e, où e ≈ 2,71828 est le nombre d'Euler. C'est la fonction réciproque de la fonction exponentielle e^x. En physique, le logarithme népérien apparaît partout où interviennent croissance, décroissance ou entropie : les demi-vies de désintégration radioactive, la distribution de Boltzmann en mécanique statistique, la formule de l'entropie S = k ln W, et la définition des décibels et du pH. Il transforme les relations multiplicatives en relations additives, ce qui en fait un outil fondamental de l'analyse théorique.
Histoire
Le logarithme népérien a été introduit par John Napier au début du XVIIe siècle (bien que ses logarithmes fussent de type base 10), et la base e a été reconnue par Leonhard Euler au XVIIIe siècle. La notation « ln » est devenue standard au XIXe siècle.
Comment ça marche
Le logarithme népérien d'un nombre positif x est la puissance à laquelle il faut élever e pour obtenir x. Sa dérivée est 1/x, ce qui en fait la primitive naturelle de 1/x. Il satisfait les propriétés ln(ab) = ln(a) + ln(b) et ln(a^b) = b ln(a). En physique, il provient souvent de l'intégration d'équations différentielles de la forme dy/dx = y, ou du logarithme d'un produit de probabilités.
En pratique
Utilisé pour calculer les variations d'entropie, l'atténuation des signaux en électronique, et l'âge des matériaux par datation radioactive (par exemple, le carbone-14).
Anecdote
Le logarithme népérien de 2 (≈0,693) est à la base de la « règle de 72 » en finance, mais en physique il apparaît comme facteur de demi-vie dans la décroissance exponentielle.
Le monde quantique ne pardonne pas l'oubli. Jetez une pierre dans un étang — les cercles s'écartent et disparaissent, l'information sur la chute se dissipe sans laisser de trace. En mécanique quantique, tout est différent : l'évolution du système est réversible, et le passé ne s'efface jamais complètement.
Deux billes chargées se sont heurtées et se sont éloignées dans des directions opposées. On pourrait croire que tout est fini — mais la lumière de leurs adieux erre encore longtemps dans l'espace. Dans notre monde ordinaire, c'est un effet bien connu : une charge accélérée rayonne toujours.
Un trou noir absorbe tout, même la lumière. Mais il ne viole pas les lois de la physique : il possède une entropie — une mesure de l’information cachée que l’objet « se souvient ».
Un mince sandwich de deux matériaux différents. On y fait passer un courant électrique – et la couche supérieure s'aimante dans un sens, la couche inférieure dans le sens opposé. Ce n'est pas un tour de magie, mais l'effet Edelstein de couche (de l'anglais layer Edelstein effect), que des physiciens viennent de décrire.
Frappez un diapason. Fréquence 440 Hz. C'est la note la. L'étalon du son.
Dans le monde des nombres, il existe aussi un étalon. Il n'est pas accordé sur un son, mais sur les nombres premiers. Bien que leur distribution semble aléatoire, elle obéit à des lois strictes. Tous les nombres premiers résonnent ensemble.
