produit scalaire — anatomie d'une formuleLe produit scalaire, également appelé produit interne, est une opération algébrique qui prend deux suites de nombres de même longueur (généralement des vecteurs) et renvoie un nombre unique. Il est défini comme la somme des produits des entrées correspondantes. Géométriquement, il est égal au produit des normes des deux vecteurs et du cosinus de l'angle qui les sépare. Cela en fait un outil fondamental pour mesurer l'alignement des vecteurs.
Le produit scalaire a été formalisé au XIXe siècle par des mathématiciens comme Hermann Grassmann et Josiah Willard Gibbs, qui ont développé le calcul vectoriel.
Étant donné deux vecteurs a = (a1, a2, ..., an) et b = (b1, b2, ..., bn), le produit scalaire est a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn. Si les vecteurs sont perpendiculaires, le produit scalaire est nul ; s'ils pointent dans la même direction, il est positif et égal au produit de leurs longueurs. Cette propriété est utilisée pour projeter un vecteur sur un autre et pour déterminer les angles dans des espaces multidimensionnels.
Il est utilisé partout en physique et en ingénierie, du calcul du travail effectué par une force (force fois déplacement) aux algorithmes d'apprentissage automatique pour les mesures de similarité.
En mécanique quantique, le produit scalaire des vecteurs d'état donne l'amplitude de probabilité des transitions entre états.
| \rho_{\rm GJ} | variable | Goldreich-Julian charge density — densité de charge coulomb per cubic metre |
| \mathbf{\Omega} | variable | Angular velocity vector of the neutron star — vitesse angulaire radian per second |
| \mathbf{B} | variable | Magnetic field vector — champ magnétique tesla |
| c | constante | Universal constant, speed of light in vacuum — vitesse de la lumière = 299792458 metre per second |
| 2\pi | constante | Mathematical constant, 2π — two pi = 6.283 |
| \cdot | opérateur | Scalar product of two vectors — produit scalaire |
| \vec{v}_{\text{sky}} | variable | tangential (sky-projected) velocity — vitesse metre per second |
| \vec{v} | variable | total velocity vector — vitesse metre per second |
| \hat{d} | variable | unit vector along the line of sight — vecteur unitaire |
| \cdot | opérateur | scalar product of two vectors — produit scalaire |
| \tilde{\mu} | variable | Corrected distance modulus or magnitude — distance modulus |
| \mu | variable | Original distance modulus or magnitude — distance modulus |
| A_D | variable | Amplitude of dipole anisotropy — sans dimension |
| \hat{n} | variable | Unit vector in the direction of observation — direction |
| \hat{p} | variable | Unit vector pointing toward the dipole axis — direction |
| \cdot | opérateur | Scalar product of two vectors — produit scalaire |
| E | variable | magnetic energy of the moment — énergie joule |
| \boldsymbol{\mu} | variable | magnetic dipole moment — magnetic dipole moment ampere square metre |
| \mathbf{B} | variable | magnetic field — champ magnétique tesla |
| \cdot | opérateur | takes the scalar product of two vectors — produit scalaire |
| m_1 | variable | mass of the first compact object — masse kilogram |
| m_2 | variable | mass of the second compact object — masse kilogram |
| \boldsymbol{\chi}_1 | variable | dimensionless spin vector of the first object — dimensionless spin |
| \boldsymbol{\chi}_2 | variable | dimensionless spin vector of the second object — dimensionless spin |
| \boldsymbol{L} | variable | unit vector along orbital angular momentum — vecteur unitaire |
| \cdot | opérateur | computes the scalar projection of one vector onto another — produit scalaire |
| H_{\text{HFI}} | variable | magnetic hyperfine interaction Hamiltonian — hamiltonien joule |
| \boldsymbol{\mu}_I | variable | nuclear magnetic moment — moment magnétique ampere square metre |
| \mathbf{A} | variable | hyperfine coupling tensor — tenseur joule per ampere square metre |
| \mathbf{S} | variable | electron spin operator — spin operator |
| \cdot | opérateur | scalar product of vectors — produit scalaire |
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