élément de matrice — anatomie d'une formuleEn mécanique quantique, un élément de matrice est un nombre complexe qui quantifie l'amplitude de probabilité d'une transition entre deux états quantiques sous l'action d'un opérateur. C'est un objet central en théorie des perturbations, en théorie de la diffusion et dans le calcul de grandeurs observables comme les taux de transition et les sections efficaces. L'élément de matrice encode la « force » d'un couplage entre états, comme l'interaction d'un atome avec un champ électromagnétique ou la désintégration d'une particule.
Le concept a été développé à la fin des années 1920 par Max Born, Werner Heisenberg et Pascual Jordan dans le cadre de la mécanique matricielle, la première formulation complète de la mécanique quantique. Il a ensuite été intégré à la notation bra-ket de Dirac, qui est désormais standard.
Formellement, un élément de matrice s'écrit ⟨ψ_f|Ô|ψ_i⟩, où |ψ_i⟩ et |ψ_f⟩ sont les états quantiques initial et final, et Ô est un opérateur représentant une grandeur physique ou une interaction. La valeur est calculée en intégrant sur tout l'espace de configuration le produit du conjugué complexe de l'état final et de l'opérateur agissant sur l'état initial. Le module au carré de l'élément de matrice donne la probabilité de la transition, qui est ensuite utilisée dans la règle d'or de Fermi pour calculer les taux.
Les éléments de matrice sont utilisés pour calculer les taux de désintégration des noyaux radioactifs, les sections efficaces de diffusion en physique des particules, et les spectres d'absorption et d'émission en physique atomique et moléculaire.
En physique des particules, l'élément de matrice pour un processus comme l'annihilation électron-positron est souvent calculé à l'aide de diagrammes de Feynman, où chaque diagramme contribue un terme à l'élément de matrice total.
| A(ω) | variable | spectral function value at energy ω — spectral function |
| ω | variable | energy variable (frequency) — énergie joule |
| n | variable | index labeling excited eigenstates |
| |n⟩ | variable | excited eigenstate of the system — état quantique |
| |0⟩ | variable | ground state of the system — état quantique |
| O | variable | operator whose excitations are probed — operator |
| E_n | variable | energy of excited state n — énergie joule |
| E_0 | variable | energy of ground state — énergie joule |
| ⟨n|O|0⟩ | opérateur | inner product of states with operator applied — élément de matrice |
| δ(...) | opérateur | selects only contributions at exact energy difference — dirac delta |
| ∑_n | opérateur | adds contributions from all possible excitations — somme |
| E_n | variable | Perturbed energy of state n — énergie joule |
| E_n^{(0)} | variable | Unperturbed energy of state n — énergie joule |
| E_m^{(0)} | variable | Unperturbed energy of state m — énergie joule |
| H' | variable | Perturbation Hamiltonian — hamiltonien joule |
| |n^{(0)}\rangle | variable | Unperturbed state n — état quantique |
| |m^{(0)}\rangle | variable | Unperturbed state m — état quantique |
| \sum_{m \neq n} | opérateur | Sum over all states m except n — somme |
| \langle m^{(0)} | H' | opérateur | Matrix element of perturbation between unperturbed states — élément de matrice |
| \Gamma_{i\to f} | variable | Transition rate from initial state i to final state f — transition rate per second |
| \psi_i | variable | Initial quantum state — fonction d'onde |
| \psi_f | variable | Final quantum state — fonction d'onde |
| H' | variable | Perturbation Hamiltonian — perturbation hamiltonian joule |
| \rho(E_f) | variable | Density of final states at energy E_f — densité d'états per joule |
| \hbar | constante | Reduced Planck constant, relating energy to angular frequency — constante de Planck réduite = 1.054571817e-34 joule second |
| \langle \psi_f | H' | opérateur | Matrix element of the perturbation between initial and final states — élément de matrice |