unité imaginaire — anatomie d'une formuleL'unité imaginaire, notée i, est définie par la propriété i² = −1. Elle étend le système des nombres réels aux nombres complexes, permettant ainsi à toute équation polynomiale d'avoir des solutions. En physique, l'unité imaginaire n'est pas seulement une commodité mathématique, mais un ingrédient fondamental des équations de la mécanique quantique, où les fonctions d'onde sont à valeurs complexes, ainsi que dans la description des oscillations et des ondes dans toutes les branches de la physique.
L'unité imaginaire a été introduite pour la première fois par Gerolamo Cardano au XVIe siècle pour résoudre les équations cubiques, puis formalisée par Rafael Bombelli. Son interprétation géométrique comme rotation est due à Caspar Wessel et Jean-Robert Argand à la fin du XVIIIe siècle.
Les nombres complexes s'écrivent sous la forme a + bi, où a et b sont des nombres réels. L'unité imaginaire permet une représentation compacte des rotations et des phénomènes périodiques : la formule d'Euler e^{iθ} = cos θ + i sin θ relie les exponentielles à la trigonométrie. En mécanique quantique, l'évolution temporelle d'un état est régie par l'équation de Schrödinger iħ ∂ψ/∂t = Hψ, où le facteur i garantit la conservation des probabilités et le caractère unitaire de l'évolution.
L'unité imaginaire est utilisée dans l'analyse des circuits à courant alternatif, le traitement du signal (transformées de Fourier) et l'informatique quantique, où les états de qubit sont représentés comme des vecteurs complexes.
L'unité imaginaire est le seul nombre dont l'inverse est égal à son opposé : 1/i = −i, une propriété qui découle directement de i² = −1.
| ρ | variable | density matrix of the open quantum system — matrice de densité |
| t | variable | time — temps second |
| H | variable | Hamiltonian of the system — hamiltonien joule |
| L_n | variable | Lindblad operators (jump operators) for each dissipation channel — lindblad operator |
| i | constante | imaginary unit, square root of -1 — unité imaginaire = 1 |
| ħ | constante | Planck constant divided by 2π — constante de Planck réduite = 1.054571817e-34 joule second |
| d/dt | opérateur | derivative with respect to time — dérivée temporelle |
| [H, ρ] | opérateur | commutator of H and ρ — commutateur |
| {L_n† L_n, ρ} | opérateur | anticommutator of L_n† L_n and ρ — anticommutator |
| ∑_n | opérateur | sum over all dissipation channels — sum over channels |
| Ψ | variable | Spinor wave function — fonction d'onde |
| t | variable | Time — temps second |
| i | constante | Square root of -1 — unité imaginaire = 1 |
| ħ | constante | Fundamental quantum of action — constante de Planck réduite = 1.054571817e-34 joule second |
| c | constante | Universal speed limit — vitesse de la lumière = 299792458 metre per second |
| m | constante | Intrinsic mass of the particle — masse = variable kilogram |
| ∂_t | opérateur | Differentiates the wave function with respect to time — dérivée partielle |
| ∇ | opérateur | Spatial derivative vector — nabla operator |
| A | variable | Polarization vector — polarization vector |
| Δ | variable | Amplitude of the field — amplitude volt per metre |
| e_x | variable | Unit vector along x-axis — vecteur unitaire |
| e_y | variable | Unit vector along y-axis — vecteur unitaire |
| i | opérateur | Complex number with square -1 — unité imaginaire |
| z | variable | Analytic signal — analytic signal |
| x | variable | Real signal — signal |
| a | variable | Instantaneous amplitude — instantaneous amplitude |
| φ | variable | Instantaneous phase — instantaneous phase radian |
| t | variable | Time variable — temps second |
| H | opérateur | Hilbert transform, shifts phase by -90° — hilbert transform operator |
| i | opérateur | Imaginary unit, √(-1) — unité imaginaire |
