В недрах звезды, сжатой до предела, частицы ведут себя как струны необычного музыкального инструмента. Их колебания подчиняются сложному уравнению, которое почти век никто не мог решить точно. Авторы работы впервые справились с этой задачей — они нашли точное решение для массивных частиц внутри шварцшильдовской звезды (это шар из идеальной жидкости с постоянной плотностью).

Секрет оказался в скрытой симметрии задачи. После хитрой замены координат, продиктованной самой геометрией звезды, уравнение свелось к известному типу — фуксову (с особыми точками, как у многих классических задач). Решение записывается через общую функцию Хойна — редкий, но мощный математический инструмент.

Вблизи центра звезды, где плотность стремится к бесконечности (это так называемый предел Бухдаля), поведение колебаний резко меняется. Для статичных мод (стоячих волн) авторы вывели условие регулярности — иначе решение взрывается. А для динамических мод амплитуда растёт, а шаг колебаний сжимается — звук как будто набирает высоту и громкость одновременно, приближаясь к сингулярности. Эти детали раньше были недоступны в приближённых расчётах.