Электрон ныряет в кристалл, меняя свою энергию на ходу. В обычной решётке он видит череду разрешённых зон и запрещённых щелей — это азбука полупроводников. Но в квазикристалле узор атомов никогда в точности не повторяется. Спектр тоже изрезан щелями, а внутри любой щели плотность электронных состояний постоянна. Какие числа она может принимать? Ответ, как оказалось, записан в топологии самого узора — почти как генетический код определяет форму белка.

Сорок лет назад Жан Беллиссар показал, что ключ лежит в K-теории C*-алгебр (операторных алгебр, обобщающих комплексные числа) и гомологиях пространства модулей группоида (обобщения группы, где умножение определено не для всех пар). Однако точное алгебраическое описание ускользало. Новая работа Хироки Мацуи предлагает единый метод — секвенирование апериодического генома. Он изучает динамические системы — действия поли-Z-групп на канторовых множествах, классических образцах топологии. Вместо прямого вычисления K-групп Мацуи строит мосты к гомологиям через точные последовательности (цепочки отображений, где образ совпадает с ядром).

Для поли-Z-групп с длиной Гирша до 4 метод даёт почти полную картину. В одномерных и двумерных случаях HK-гипотеза выполняется точно: K-теория изоморфна сумме гомологий, а gap-labelling получается в целых числах. Для трёхмерного действия Z³ впервые строго доказана интегральная HK-гипотеза. Для более сложных систем появляется множитель ½, причём препятствие всегда имеет порядок 2 — это эхо транспозиций в топологической полной группе. Идеи Пуанкаре (двойственность), Гильберта (абстрактные пространства) и фон Неймана (операторные алгебры) пронизывают всю конструкцию.

Метод также вскрывает, почему рациональные версии гипотез выполняются широко, а интегральные — нет: препятствия имеют кручение порядка 2. Чтобы убрать злосчастную ½, может потребоваться детерминант де ла Арпа–Скандалиса или более тонкая спектральная последовательность. Впереди — проверка HK-гипотезы для групп длины Гирша 5 и перенос техники на группоиды с кручением. Долгосрочная цель — классификация самих апериодических узоров по их спектральному «геному». Геном апериодического кристалла почти прочитан; осталось исправить несколько опечаток в кодонах.