Переменная, возможные значения которой являются числовыми исходами случайного явления.Случайная величина — это математическая функция, которая ставит в соответствие каждому исходу случайного эксперимента числовое значение. Это фундаментальное понятие теории вероятностей и статистики, связывающее абстрактные исходы (например, подбрасывание монеты или бросание игральной кости) с измеримыми величинами. Случайные величины могут быть дискретными, принимающими счётное множество значений (например, число выпадений орла при 10 подбрасываниях), или непрерывными, принимающими любое значение из интервала (например, точный рост случайно выбранного человека).
Формальное понятие случайной величины было разработано в начале XX века, ключевой вклад внёс Андрей Колмогоров в 1930-х годах, который заложил теорию вероятностей на строгий теоретико-мерный фундамент.
Формально случайная величина X отображает пространство элементарных исходов Ω в множество действительных чисел. Вероятность того, что X примет конкретное значение или попадёт в диапазон, определяется её распределением вероятностей. Для дискретных величин это функция вероятности, для непрерывных — плотность вероятности. Математическое ожидание и дисперсия характеризуют центр и разброс распределения. Случайные величины позволяют применять математический анализ и алгебру к случайности, что даёт возможность делать прогнозы и выводы.
Случайные величины используются повсеместно в науке и технике: в оценке рисков, финансовом моделировании, контроле качества, машинном обучении и физике (например, в результатах квантовых измерений). Они являются основой статистического вывода и моделирования.
В квантовой механике результат измерения является случайной величиной, но её распределение определяется волновой функцией — так что случайность здесь внутренне присуща, а не просто следствие нехватки информации.
| X | переменная | первая случайная величина — случайная величина |
| Y | переменная | вторая случайная величина — случайная величина |
| Var(X) | переменная | дисперсия X — дисперсия |
| Var(Y) | переменная | дисперсия Y — дисперсия |
| Var(X+Y) | переменная | дисперсия суммы X+Y — дисперсия |
| f | переменная | плотность вероятности — probability density function |
| x | переменная | случайная величина — случайная величина |
| k | переменная | показатель степенного закона — power law exponent |
| D_{KL} | переменная | расхождение Кульбака-Лейблера — information divergence |
| P(x) | переменная | плотность вероятности распределения P — probability density |
| Q(x) | переменная | плотность вероятности распределения Q — probability density |
| x | переменная | случайная величина — случайная величина |
| \int | оператор | суммирует подынтегральное выражение по всем значениям x — интегральный оператор |
| \log | оператор | вычисляет логарифм отношения — логарифм |
| X_n | переменная | случайная величина, индексированная n — случайная величина |
| d_s | переменная | спектральная размерность — spectral dimension |
| Var | оператор | статистическая дисперсия случайной величины — дисперсия |
| ~ | оператор | асимптотически пропорционально (с точностью до постоянного множителя) — asymptotic equivalence |
| f | оператор | некоторая функция спектральной размерности — function |
