Группа Ли — это математическая группа, которая одновременно является гладким многообразием с непрерывными операциями симметрии.Группа Ли — это группа, элементы которой плавно параметризуются конечным числом параметров, превращая её в гладкое многообразие. Вращения в трёхмерном пространстве образуют группу SO(3). Вблизи единичного элемента (тождественного вращения) касательное пространство даёт алгебру Ли — векторное пространство с операцией скобки Ли. В физике скобка Ли задаёт коммутаторы генераторов симметрии, например [J_x, J_y] = iħJ_z.
Софус Ли в 1870-х ввёл непрерывные группы, первоначально для симметрий дифференциальных уравнений. Анри Пуанкаре развил глобальный аспект, рассмотрев фундаментальную группу. Эмми Нётер связала однопараметрические подгруппы Ли с законами сохранения. В физике 20 века группы Ли стали каркасом калибровочных теорий (Янг, Миллс), а классификация Картана обрела физический смысл в Стандартной модели.
Экспоненциальное отображение exp: 𝔤 → G переводит элементы алгебры Ли в элементы группы. Коммутаторы алгебры определяют некоммутативность группы. Представление группы — гомоморфизм в GL(V), раскладывающийся по неприводимым. Генераторы (базис 𝔤) в представлении дают эрмитовы операторы в физике, чьи собственные значения квантуют заряды.
Группа Ли SO(3) управляет ориентацией дрона в пространстве. А вся таблица элементарных частиц закодирована в произведении групп Ли SU(3)×SU(2)×U(1) — основе Стандартной модели.
Вращения кубика Рубика образуют конечную группу, а не группу Ли, потому что повороты происходят рывками. А вот поляризация света описывается группой U(1) — её элементы плавно меняют фазу волны.
