Эллиптическая кривая — это гладкая проективная алгебраическая кривая рода один с выделенной базовой точкой.Эллиптическая кривая задаётся уравнением y² = x³ + ax + b. Её график — плавная симметричная линия без самопересечений. На множестве её точек (включая бесконечно удалённую) можно ввести операцию сложения, превращающую кривую в коммутативную группу. Это значит, что сложение подчиняется тем же законам, что и обычные числа: есть «ноль», противоположный элемент, ассоциативность. Но геометрия сложения необычна: суммируя две точки, мы проводим через них секущую прямую, находим третье пересечение с кривой и отражаем его относительно оси x. В криптографии (например, в протоколе Диффи–Хеллмана на эллиптических кривых) безопасность строится на сложности задачи дискретного логарифмирования: зная начальную точку P и конечную Q = n·P, вычислить число n почти невозможно.
Изучение эллиптических кривых началось с эллиптических интегралов в работах Абеля и Якоби в первой половине XIX века. Термин «эллиптическая» возник из-за связи с вычислением длины дуги эллипса. Анри Пуанкаре внёс вклад в изучение алгебраических кривых и их групп. В 1985 году Нил Коблиц и Виктор Миллер независимо предложили использовать эллиптические кривые в криптографии, что привело к созданию практических систем ECC, повсеместно применяемых сегодня. Связь с модулярными формами, установленная в работах Уайлса и Тейлора, решила Великую теорему Ферма.
Групповой закон на эллиптической кривой формирует абелеву группу. Для кривой над конечным полем F_p эта группа имеет порядок примерно p+1, и на сложности задачи дискретного логарифмирования в ней основана криптостойкость. В протоколах типа ECDSA подписывается сообщение с использованием секретного ключа — множителя n, а проверяется с помощью открытого ключа Q = n·P. Вычислить n по Q и P — это задача ECDLP, для которой неизвестно субэкспоненциальных алгоритмов в общем случае. Также эллиптические кривые над рациональными числами несут богатую структуру: группа рациональных точек по теореме Морделла–Вейля является конечнопорождённой, а её ранг и регулятор связаны с L-функцией кривой через гипотезу Бёрча и Свиннертон-Дайера. Так математический замок из плавной кривой охраняет цифровые границы.
Протоколы HTTPS, криптовалютные кошельки, электронные подписи — везде, где нужен быстрый и надёжный цифровой замок.
Самая знаменитая эллиптическая кривая, возможно, та, что связана с уравнением Ферма. Эндрю Уайлс доказал Великую теорему Ферма, установив связь между эллиптическими кривыми и модулярными формами.
| ε | переменная | эллиптичность — ellipticity |
| I_xx | переменная | момент инерции относительно оси x — момент инерции кг·м² |
| I_yy | переменная | момент инерции относительно оси y — момент инерции кг·м² |
| I_zz | переменная | момент инерции относительно оси z — момент инерции кг·м² |
| x | переменная | x-координата точки на прямой — x coordinate м |
| y | переменная | y-координата точки на прямой — y coordinate м |
| \phi | переменная | угол нормали к прямой относительно оси x — угол рад |
| p | переменная | перпендикулярное расстояние от начала координат до прямой — расстояние м |
| \cos | оператор | вычисляет косинус угла — косинус |
| \sin | оператор | вычисляет синус угла — синус |
