Многообразие — это математическое пространство, которое вблизи каждой точки локально напоминает евклидово пространство.Многообразие — это пространство, которое в малом масштабе неотличимо от обычного евклидова (с прямыми линиями и углами), но в целом может обладать сложной глобальной формой. Точнее, n-мерное многообразие — пространство, где у каждой точки есть окрестность, гомеоморфная (т.е. непрерывно деформируемая без разрывов и склеек) открытому подмножеству ℝⁿ. Локальная евклидовость позволяет использовать математический анализ, вводя гладкие структуры. Многообразия — центральный объект дифференциальной геометрии; их можно вкладывать в пространства большей размерности, но часто изучают внутренне — через карты и функции перехода, подобно тому как глобус покрывается плоскими картами.
Идея многообразия зародилась в работах Гаусса по внутренней геометрии поверхностей и в лекции Римана 1854 года, где были введены n-мерные многообразия и метрический тензор. Анри Пуанкаре развил топологию многообразий и сформулировал гипотезу Пуанкаре для трёхмерных многообразий. Позднее Эли Картан и другие создали теорию расслоений и связностей на многообразиях — необходимую для современных калибровочных теорий в физике.
Гладкое многообразие снабжено атласом карт: каждая карта — гомеоморфизм из открытого множества многообразия в ℝⁿ, а совместимость задаётся гладкими функциями перехода. Векторные поля, дифференциальные формы и тензоры определяются через касательное расслоение. Кривизна описывается тензором Римана, исходя из метрики, задающей длины и углы. Интегрирование ведётся с помощью дифференциальных форм, а теорема Стокса связывает интегралы по границе и по объёму. Инварианты — группы гомологий и когомологий — классифицируют многообразия с точностью до топологической эквивалентности.
GPS-навигация использует многообразия для моделирования земной поверхности; в общей теории относительности пространство-время — четырёхмерное многообразие, чья кривизна проявляется как гравитация.
Идя по прямой по поверхности Земли, вы в конце концов вернётесь в исходную точку — это свойство двумерного многообразия-сферы, глобальная кривизна которого незаметна на коротких расстояниях.
| d | переменная | Евклидово расстояние — расстояние м |
| x₁ | переменная | x-координата точки 1 — coordinate м |
| x₀ | переменная | x-координата точки 0 — coordinate м |
| y₁ | переменная | y-координата точки 1 — coordinate м |
| y₀ | переменная | y-координата точки 0 — coordinate м |
| √ | оператор | извлекает квадратный корень из суммы — квадратный корень |
