قطرة كريمة تسقط في فنجان قهوة — وبعد دقيقة يصبح المشروب كله بلون البيج. يمكن قياس عملية الخلط هذه: ما مقدار "التحريك" المطلوب لتحويل توزيع جسيمات إلى آخر؟ في الرياضيات، يُسمى هذا الأسلوب النقل الأمثل (optimal transport)، ومقياس الجهد المبذول هو مسافة فاسرشتاين (Wasserstein distance).
طبق مؤلفو الدراسة هذه الفكرة على الأنظمة الكمومية. أخذوا أبسط مثال — هزاز توافقي كمومي مفرد (بندول من العالم المصغر) — وتتبعوا كيف تتغير حالته عندما يتبادل الطاقة مع محيطه. إذا قِسنا المسافة بين حالات الهزاز باستخدام النقل الأمثل، فإن تاريخ تغيراته نفسه يُرتب في هندسة تشبه الزمكان حول ثقب أسود. حيثما تُفقد المعلومات حول النظام بشكل لا رجعة فيه، يظهر ما يعادل أفق الحدث — السطح الذي لا يعود من تحته حتى الضوء.
طُبق الوصفة نفسها على نموذج أكثر تعقيدًا — نظام فرعي من نموذج SYK، الذي يصف في نظرية الهولوغرافيا ثقبًا أسود ثنائي الأبعاد. تطابقت الهندسة الناتجة تمامًا مع فضاء دي سيتر المضاد المعروف، مؤكدةً الفرضية. ومن المثير للاهتمام أن مقياس المسافة المستخدم تبين أنه قريب مما يسمى تعقيد كريلوف (Krylov complexity) — وهو مقدار يقيس مدى "تشابك" النظام الكمومي مع مرور الزمن.
سُميت مسافة فاسرشتاين على اسم عالم الرياضيات السوفييتي ليونيد فاسرشتاين، لكن طريقة النقل الأمثل نفسها تعود إلى أعمال المهندس الفرنسي غاسبار مونج، الذي فكر في القرن الثامن عشر في كيفية نقل التراب بكفاءة أكبر أثناء بناء التحصينات.
في رواية "مدينة التبديلات" للكاتب غريغ إيغان، تنشأ أكوان افتراضية من آلات خلوية — وهنا يولد الزمكان من لعبة احتمالات الأنظمة الكمومية.