يمكننا إرسال نبضة راديوية قصيرة نحو الثقب الأسود وانتظار الصدى المنعكس. يبدو أنه كلما كانت الإشارة أقصر، كلما تمكنت من استكشاف أدق تفاصيل الفضاء عند الأفق مباشرة — تلك المنطقة التي لا يعود منها حتى الضوء. لكن الطبيعة تنصب فخًا: الموجة القصيرة جدًا تخترق الحاجز الثقالي تقريبًا وتغوص داخل الثقب. فلا يعود سوى همس خافت.

في الدراسة الجديدة، يُحلَّل هذا التناقض بوصفه مسألة توازن. النبضة الطويلة جدًا تنعكس جيدًا لكنها تشوّه الصورة — مثل صورة فوتوغرافية ضبابية. أما القصيرة جدًا فتعطي حدة لكنها لا تعود تقريبًا. وجد المؤلفون حلًا وسطًا ذهبيًا: يجب أن يكون عرض النبضة مساويًا تقريبًا للجذر التربيعي العكسي لارتفاع الحاجز الكامن للثقب الأسود. هذا النوع من الإشارات يستخرج من الصدى المنعكس أقصى قدر من المعلومات حول تشوهات المترية قرب الأفق.

للتحقق من الفكرة، استُخدم نموذج بسيط لجهد بوشل-تيلر (Pöschl-Teller)، حيث يمكن حساب كل شيء تحليليًا. واتضح أن التذبذبات الأساسية للثقب الأسود (الأنماط شبه الطبيعية — وهي تذبذبات مميزة متلاشية تنشأ عند اضطراب الثقب الأسود) تحمل جزءًا فقط من المعلومات، بينما الصورة الكاملة يعطيها كامل الإشارة المنعكسة — بما في ذلك أول استجابة وأسرعها. وهكذا يولد جسر غير متوقع بين التحليل الطيفي للثقوب السوداء (تحليل تذبذباتها لتحديد خصائصها)، والتشتت شبه الكلاسيكي، ونظرية المعلومات.