El agua se convierte en hielo a cero grados: de golpe, sin estados intermedios. Algo parecido ocurre con la complejidad cuando tomamos un estado cuántico aleatorio de un sistema completo y miramos solo una parte. Mientras esa parte ocupa menos de la mitad del sistema, su complejidad crece suavemente. Pero en cuanto la proporción supera el 50%, se produce un salto.
A esta transición se la llamó "tipo Page", en honor a la curva de Page para la información en los agujeros negros. Los autores del trabajo van más allá y explican la causa. Hasta la mitad, la complejidad está dictada por el espectro de energías (el conjunto de niveles disponibles), y después, por la elección concreta de la base, es decir, cómo describimos los estados. En una ciudad pequeña, el orden lo determinarían las leyes generales, pero en una grande, a eso se añade quién vive exactamente en cada casa.
Luego aplicaron la idea a un agujero negro en evaporación en el espacio anti-de Sitter, conectado a un baño térmico. Con un modelo de juguete —un circuito cuántico con evolución aleatoria— los físicos mostraron que la complejidad de la radiación también experimenta una transición abrupta. En la descripción holográfica, esta transición está asociada a la aparición de una "isla": una región dentro del agujero negro que de repente comienza a contribuir al volumen.
Así se resuelve la aparente paradoja: la complejidad de la radiación no se pierde, sino que se reorganiza cuando el agujero negro envejece. Y de nuevo, la mitad resulta ser el límite, como para el agua a cero grados.
La transición de complejidad en la mitad del sistema es un pariente directo de la "transición de Page" para la entropía de entrelazamiento, que muestra que la información sobre el agujero negro comienza a salir justo en la mitad de su vida.