Une pierre tombe dans un étang – les cercles s'éloignent et disparaissent. Mais dans un canal étroit, une vague peut parfois se rassembler en une bosse et rouler, sans changer de forme, kilomètre après kilomètre. Ces ondes solitaires tenaces sont appelées solitons. Et si la crête n'est pas lisse mais pointue, comme un ressort comprimé à l'extrême, c'est un picon.

Dans la vie réelle, les canaux ne sont pas parfaits : par endroits moins profonds, par endroits le courant plus rapide. Les mathématiciens ont pris l'équation de Camassa-Holm à coefficients variables (vcCH) et y ont ajouté une faible dispersion – la propriété du milieu qui fait que des vagues de longueurs différentes se propagent à des vitesses différentes. Habituellement, cela étale la vague en bouillie, mais ici la faible dispersion a permis de chercher des solutions, semblables aux solitons et aux picons, sous forme de corrections soignées. L'astuce principale est d'isoler la partie « singulière », responsable de la netteté du pic ou de la bosse du soliton, et de la séparer du fond lisse, commun à toutes ces vagues.

Les auteurs ont construit des séries asymptotiques – comme s'ils assemblaient la vague à partir de pièces de plus en plus fines – et ont prouvé la précision de ces approximations. Pour une onde solitaire, ils ont réussi à écrire des corrections de tout ordre et à confirmer qu'elles ont un sens dans des espaces mathématiques appropriés. Pour deux vagues en interaction, une voie est également tracée. À la fin de l'article, des exemples concrets avec des formules explicites et des graphiques : les vagues gardent effectivement leur forme, malgré le milieu changeant.