Frappez sur un diapason, et il émet une seule fréquence. De même, les nombres premiers ont leur « ton » commun : le nombre λ∞, qui vaut environ 0,674036. Bien que les nombres premiers semblent éparpillés au hasard, leur comportement obéit à des lois strictes. Si pour chaque nombre premier p on forme la fraction 1/(λ∞·p² − p + 1) et que l'on additionne toutes ces fractions, on obtient exactement 1. Cette constante est le nombre clé d'un immense réseau de connexions entre les nombres premiers.

Pour trouver λ∞, le mathématicien Alessandro Munari a construit un tel réseau à partir des 10 premiers millions de nombres premiers. Au-delà, la contribution devient minuscule, mais il faut quand même en tenir compte. Pour cela, ils ont utilisé une astuce d'approximation et une puissante méthode informatique — l'algorithme de Newton. 11 étapes, 336 secondes — et voilà : 500 décimales exactes. Le résultat a été vérifié par des tests statistiques et des algorithmes de recherche de motifs, mais aucune expression simple pour λ∞ n'a été trouvée.

Cette constante est pour les nombres premiers ce que π²/6 est pour tous les entiers. Fait intéressant, la plus grande contribution vient de 2 : sans lui, l'équation ne fonctionnerait pas. On ne sait pas encore si λ∞ peut s'écrire comme une fraction ordinaire, mais une chose est sûre : le mystérieux diapason des nombres premiers a sonné, et sa mélodie reste à déchiffrer.