Deux observateurs, Alice et Bob, sont assis aux deux extrémités d'un même laboratoire. Entre eux, une source émet successivement deux impulsions. Chaque impulsion donne naissance à un paquet d'ondes qui se dirige vers son détecteur. Jusqu'ici, tout ressemble à une expérience ordinaire avec des particules quantiques. Mais si l'espace-temps est réellement non commutatif — c'est-à-dire que les coordonnées ne se multiplient pas dans n'importe quel ordre, comme des matrices — alors au moment où les particules échangent leurs places, une rotation supplémentaire s'infiltre dans leur fonction d'onde, une phase qui dépend de leurs impulsions. Cette phase est précisément la trace de la géométrie tordue.
Les auteurs de l'article ont trouvé un moyen de rendre cette phase visible. Ils ont considéré une source qui interagit avec un champ « habillé » — c'est-à-dire un champ contenant déjà un ajout opératoriel dû à l'impulsion totale. Alors, dans le secteur à deux particules, une phase apparaît, proportionnelle à l'aire orientée du parallélogramme construit sur les différences d'impulsions des deux modes chez Alice et Bob. Si ces différences ne sont pas parallèles, la phase est non nulle. Après qu'Alice et Bob projettent leurs particules sur certains états, ils obtiennent une paire de qubits avec une phase contrôlée.
Ensuite, l'outil standard entre en jeu : l'inégalité de Bell sous la forme CHSH. Alice et Bob effectuent des mesures locales dans des bases tournées par rapport à leurs modes. Si les corrélations entre leurs résultats dépassent la limite classique de 2, alors l'état est intriqué et le réalisme local est violé. Pour l'état préparé, la valeur maximale du paramètre CHSH est 2√(1 + sin²(χ_θ/2)), où χ_θ est cette fameuse phase. Pour χ_θ = π, on obtient l'état maximalement intriqué et la limite de Tsirelson 2√2. Pour une non-commutativité faible, l'intrication croît linéairement avec le paramètre de déformation, tandis que le dépassement de la limite classique croît quadratiquement.
Le résultat signifie que la géométrie non commutative ne doit pas nécessairement rester inobservable : elle se manifeste dans les statistiques de mesure comme une violation du réalisme local. Cela relie les questions fondamentales de la gravité quantique à la technique expérimentalement avancée de vérification des inégalités de Bell. Auparavant, on ne savait pas si la non-commutativité pouvait être enregistrée opérationnellement, puisque le champ libre et les états à une particule ne changent pas. Désormais, on voit que la statistique tordue des états à plusieurs particules engendre de l'intrication, et cette violation dépend directement du paramètre de non-commutativité. Certes, la réalisation technique de l'expérience de pensée proposée est encore loin des capacités actuelles — mais le critère existe déjà.
La cloche de la non-commutativité a sonné : chaque échange de particules ajoute une rotation, et ce n'est que par paires que ces rotations s'assemblent en un motif visible. Si un jour on parvient à réaliser une telle expérience, elle montrera si l'espace-temps est réellement tordu au niveau le plus profond, ou si ce n'est qu'une abstraction mathématique.
Si les différences d'impulsions chez Alice et Bob sont parallèles, la phase χ_θ s'annule — et la non-commutativité devient invisible, quelle que soit sa grandeur. Il faut précisément la géométrie bidimensionnelle des modes d'impulsion.