Un nombre ou une propriété qui reste inchangé sous des déformations continues d'un système.Un invariant topologique est une propriété d'un système physique qui reste inchangée sous des déformations continues, telles que l'étirement, la flexion ou la torsion, tant qu'aucune déchirure ou recollement ne se produit. En physique, les invariants topologiques servent à classer des phases de la matière qui ne peuvent être distinguées par des paramètres d'ordre locaux, comme l'effet Hall quantique entier, les isolants topologiques et les supraconducteurs topologiques. Ces invariants sont souvent des entiers, comme le nombre de Chern, qui caractérise la conductance de Hall quantifiée. Le concept a également été appliqué à d'autres domaines, notamment les dynamos magnétiques, où un invariant caché peut dicter le comportement du système, et à l'étude des nœuds et des tresses en théorie quantique des champs.
Le concept trouve son origine en mathématiques, avec le théorème de Gauss-Bonnet et les travaux de Poincaré. En physique, le premier invariant topologique fut le nombre de Chern, introduit par Chern en 1946, mais sa signification physique fut réalisée avec la découverte de l'effet Hall quantique en 1980 par von Klitzing, et l'explication théorique subséquente par Thouless, Kohmoto, Nightingale et den Nijs en 1982.
Les invariants topologiques sont généralement calculés à partir de la structure mathématique de la fonction d'onde ou de l'hamiltonien du système. Par exemple, dans un gaz d'électrons bidimensionnel soumis à un champ magnétique, le nombre de Chern est un entier qui compte le nombre d'états de bord ou la conductance de Hall quantifiée. Il est défini comme une intégrale sur la zone de Brillouin de la courbure de Berry. Parce qu'il est entier, il ne peut pas changer continûment — il ne peut que sauter lorsque le système subit une transition de phase, ce qui nécessite la fermeture de la bande interdite. Cela rend les phases topologiques robustes face aux perturbations locales, tant que la bande interdite reste ouverte.
Les invariants topologiques sont utilisés pour concevoir des isolants et des supraconducteurs topologiques, qui ont des applications potentielles en informatique quantique grâce à leurs états de bord protégés. Ils sont également utilisés en métrologie, où l'effet Hall quantifié fournit un étalon pour la résistance électrique.
Le prix Nobel de physique 2016 a été attribué à Thouless, Haldane et Kosterlitz pour leurs travaux sur les transitions de phase topologiques et les phases topologiques de la matière, qui étaient initialement considérés comme une curiosité purement mathématique.
