Imaginez un paysage montagneux : les vallées représentent les différents états de la matière, et les crêtes, les transitions entre eux. Certains itinéraires en boucle peuvent être réduits à un point en suivant une vallée plane. Mais il existe des itinéraires impossibles à contracter sans franchir une crête. En physique, on appelle ces itinéraires boucles non contractiles. Ils montrent qu'entre deux états, on ne peut pas passer en douceur sans tomber sur un point où le gap d'énergie disparaît.
Auparavant, les scientifiques n'étudiaient ces boucles que dans des cas simples : lorsque la symétrie du système est soit entièrement préservée, soit entièrement brisée. Mais en réalité, les symétries peuvent interagir : l'une est brisée, l'autre non. C'est comme si, dans les montagnes, deux règles différentes s'appliquaient simultanément aux sentiers. De nouveaux travaux ont montré que cette interaction crée des boucles plus complexes, qui passaient auparavant inaperçues.
Les résultats ont été inattendus. Par exemple, pour les systèmes avec une symétrie anormale Z₂×Z₂, les boucles sont classifiées par le groupe Z₄, car la paroi de domaine d'une symétrie porte la moitié de la charge de l'autre. Pour d'autres symétries, la classification dépend de la parité du nombre n. Grâce à cela, on peut désormais savoir à l'avance où un point critique apparaîtra nécessairement dans un système quantique, même si les paramètres sont infinis en nombre, alors qu'il suffit d'en ajuster seulement deux.
Les boucles non contractiles dans le diagramme de phases signifient que pour atteindre une phase sans gap, il suffit d'ajuster précisément un nombre fini de paramètres, même s'il y a une infinité d'axes de paramètres.