Dans un massif montagneux, il y a des sentiers que l'on peut réduire à un point en suivant une vallée plate. Mais il existe aussi des itinéraires en boucle impossibles à contracter sans franchir une crête. Les physiciens qui étudient les phases quantiques ont découvert que leur diagramme de phases est organisé de la même manière : on y trouve des chemins fermés qui ne peuvent pas être réduits à un point sans traverser une région où le gap d'énergie disparaît.
Ces chemins sont appelés boucles non contractiles. Ils montrent que l'on ne peut pas passer en douceur d'une phase à une autre sans rencontrer un point critique. Auparavant, ces boucles étaient étudiées séparément : soit lorsque la symétrie est conservée, soit lorsqu'elle est complètement brisée. Mais dans les systèmes réels, les symétries interagissent, et l'une peut être brisée tandis qu'une autre ne l'est pas.
Les auteurs ont utilisé la méthode de dualité, qui relie les diagrammes de phases de deux systèmes, comme un miroir échange la gauche et la droite. Par exemple, la dualité de Kramers-Wannier échange les parois de domaine et les charges. Cela a permis de transférer la classification des boucles d'un côté à l'autre et de construire des évolutions unitaires explicites qui engendrent des boucles non contractiles.
Les résultats se sont révélés inattendus. Pour les systèmes avec une symétrie anormale Z₂×Z₂, les boucles sont classifiées par le groupe Z₄, car la paroi de domaine d'une symétrie porte la moitié de la charge de l'autre. Pour les groupes diédraux D₂ₙ, la classification dépend de la parité de n : pour n impair, elle est égale à D₂ₙ, et pour n pair, elle est D₈ ou Z₂×Z₂. Pour les symétries non inversibles, la classification des boucles dépend du fait que le point de base est trivial ou non, ce qui contraste avec les phases ordinaires.
Ces résultats fournissent un outil pour rechercher les points sans gap inévitables dans les systèmes quantiques. Si le diagramme de phases contient une boucle non contractile, alors il existe nécessairement un point sur cette boucle où le gap se ferme. C'est comme savoir que sur un itinéraire en boucle, on rencontrera forcément un col, même si on ne le voit pas depuis le départ. Ce travail approfondit la compréhension de la structure topologique des diagrammes de phases et ouvre la voie à la classification des phases avec des symétries exotiques.
Les boucles non contractiles dans le diagramme de phases signifient que pour atteindre une phase sans gap, il suffit d'ajuster précisément un nombre fini de paramètres, même s'il y a une infinité d'axes de paramètres.