mathématiques

tenseur

A tensor is a mathematical object that generalizes scalars, vectors, and matrices to higher dimensions.
12 articles liés · 3 formules

Description

Un tenseur est un objet géométrique généralisant les vecteurs et les matrices à des dimensions arbitraires, dont les composantes se transforment selon les lois covariantes et contravariantes lors d'un changement de coordonnées. Un tenseur de type (p,q) possède p indices contravariants et q indices covariants. En physique, les tenseurs sont le langage naturel des champs : le tenseur métrique g_μν définit les distances, le tenseur de Riemann décrit la courbure, et le tenseur énergie-impulsion T_μν est la source de la gravité dans les équations d'Einstein.

Histoire

La notion de tenseur est issue des travaux de Gauss, Riemann et Christoffel sur la géométrie différentielle. Ricci-Curbastro et Levi-Civita ont développé le calcul tensoriel dans les années 1890 (en publiant « Méthodes de calcul différentiel absolu » en 1900). Einstein, avec l'aide de Marcel Grossmann, l'a appliqué dans la théorie de la relativité générale (1915), où le tenseur d'Einstein G_μν = R_μν - ½ R g_μν décrit la courbure de l'espace-temps. Par la suite, les tenseurs se sont répandus en mécanique, en électromagnétisme et, avec l'avènement des ordinateurs, dans le traitement des données et l'apprentissage automatique.

Comment ça marche

Les tenseurs sont définis par leur loi de transformation : un tenseur covariant A_μ se transforme comme A'_μ = (∂x^ν/∂x'^μ) A_ν, et un tenseur contravariant B^μ — avec la jacobienne inverse. Les tenseurs mixtes se transforment en conséquence. Opérations : contraction (sommation sur des indices supérieur et inférieur, réduisant le rang de 2), produit tensoriel et dérivation covariante (via les symboles de Christoffel). La dérivée extérieure engendre des tenseurs antisymétriques. En physique, les actions s'écrivent par contractions de tenseurs. Les équations d'Einstein G_μν = (8πG/c^4) T_μν relient le tenseur de courbure d'Einstein au tenseur énergie-impulsion. Les calculs tensoriels sont optimisés dans les bibliothèques NumPy et TensorFlow.

En pratique

Les tenseurs décrivent les contraintes dans les matériaux, la courbure de l'espace-temps dans la théorie d'Einstein et servent de base aux réseaux de neurones dans TensorFlow.

Anecdote

L'élasticité de la peau est décrite par un tenseur de rang quatre, reliant la force appliquée à la déformation dans chaque direction — même les matériaux simples possèdent des propriétés directionnelles complexes exprimées par des tenseurs.

Concept graph →

Formules

$$r = \frac{P_t}{P_s}$$
Ratio of tensor perturbation power to scalar perturbation power.
Ce qu'il y a dans la formule
rvariabletensor-to-scalar ratio — dimensionless ratio
P_tvariablepower spectrum of tensor perturbations — spectre de puissance
P_svariablepower spectrum of scalar perturbations — spectre de puissance
r\approx1.6*10^{-3}(\frac{h_e}{10^{13}{gev}})^2 · 2605.05304v1
$$w_1 a + w_2 b$$
Combines values with weights summing to one.
Ce qu'il y a dans la formule
w_1variableweight for a — poids
avariablefirst value
w_2variableweight for b — poids
bvariablesecond value
f_{{nov-aug}}(x)=w*f(x)+(1-w)*ρ(x,a) · 2607.00761
$$H_{\text{HFI}} = \boldsymbol{\mu}_I \cdot \mathbf{A} \cdot \mathbf{S}$$
Interaction between nuclear and electron magnetic moments.
Ce qu'il y a dans la formule
H_{\text{HFI}}variablemagnetic hyperfine interaction Hamiltonian — hamiltonien joule
\boldsymbol{\mu}_Ivariablenuclear magnetic moment — moment magnétique ampere square metre
\mathbf{A}variablehyperfine coupling tensor — tenseur joule per ampere square metre
\mathbf{S}variableelectron spin operator — spin operator
\cdotopérateurscalar product of vectors — produit scalaire

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