Poincaré recurrence theorem asserts that certain systems will return arbitrarily close to their initial state after a sufficiently long time.Un jeu de cartes est un système mécanique avec un nombre fini d'états. Le mélange change l'ordre, mais le nombre total de dispositions est fixe. Tôt ou tard, toute séquence se répète, et le jeu revient à sa configuration initiale. En 1890, Henri Poincaré a transposé cette idée aux systèmes physiques. Il a démontré que dans un système conservatif fermé, où l'énergie est bornée et où l'espace des phases (une salle multidimensionnelle imaginaire, chaque point représentant toutes les coordonnées et vitesses des particules) a un volume fini, la trajectoire finit toujours par s’approcher arbitrairement près du point de départ. Le temps d’un tel retour est colossal – pour une mole de gaz dans une boîte à chaussures, il est d'environ 10 à la puissance 10^23 secondes. Ce nombre ne peut pas être écrit dans l'Univers visible. Le théorème de Poincaré a résolu le paradoxe : comment les lois réversibles de Newton peuvent-elles conduire à une croissance irréversible de l’entropie ? La réponse tient aux échelles de temps.
Henri Poincaré démontra le théorème en 1890 dans son traité « Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique ». À cette époque, il participait au concours du roi Oscar II de Suède et de Norvège pour résoudre le problème de la stabilité du système solaire. En étudiant le problème restreint des trois corps, Poincaré rencontra un comportement chaotique des trajectoires et la nécessité de décrire leur destin à long terme. Il réussit à montrer que la trajectoire de phase d’un système borné revient tôt ou tard près du point initial. Plus tard, on découvrit que des considérations similaires avaient été énoncées par James Clerk Maxwell, en réfléchissant à la dynamique moléculaire, ainsi que par Lars Onsager dans le contexte de la mécanique statistique. Au XXe siècle, le théorème acquit une importance fondamentale pour comprendre le lien entre la dynamique microscopique réversible et la thermodynamique irréversible. Les travaux d’Ilya Prigogine sur les processus hors équilibre s’appuient aussi sur le concept de récurrence.
Le théorème trouve des applications en mécanique statistique, en théorie ergodique et en théorie des systèmes dynamiques. En pratique, il fixe la limite de validité du deuxième principe de la thermodynamique : l’entropie d’un système isolé peut croître sur des intervalles courts par rapport au temps de Poincaré, mais elle doit finalement revenir à des valeurs faibles. En astrophysique, les processus récurrents sont envisagés pour les orbites chaotiques des corps célestes, mais les échelles de temps les rendent inobservables. En informatique quantique, la mémoire de l’état initial dans un système fermé ne disparaît jamais complètement, ce qui est exploité dans les protocoles de correction d’erreurs.
Le théorème explique pourquoi, dans une pièce isolée, l'odeur d'un parfum ne disparaît pas sans trace, mais se disperse seulement – et peut se rassembler spontanément dans le flacon, bien que l’attente soit inimaginablement longue. En pratique, cela limite la portée du deuxième principe de la thermodynamique pour les systèmes fermés.
Ernst Zermelo tenta de réfuter Boltzmann à l’aide de ce théorème : si tout revient, l'entropie ne peut croître indéfiniment. Boltzmann rétorqua : « Le temps d’attente serait si long que n'importe quel être vivant aurait le temps de renaître une infinité de fois d'ici là. »