The virial theorem relates the average kinetic energy of a system to its potential energy.Rudolf Clausius, en 1870, en étudiant le lien entre la chaleur et le travail mécanique, a établi le théorème du viriel. Il relie l'énergie cinétique moyenne d'un système de particules au « viriel » — la demi-somme des produits scalaires des forces par les coordonnées. Pour les forces décroissant en 1/r (gravitation, électricité), le théorème donne un résultat élégant : 2⟨T⟩ = –⟨U⟩. Fritz Zwicky, en 1933, appliqua cette relation à l'amas de la Chevelure de Bérénice et découvrit que la masse visible manquait environ d'un facteur cent — ainsi naquit l'idée de la matière noire.
Clausius démontra le théorème en 1870 dans le cadre de la théorie mécanique de la chaleur. Plus tard, Poincaré le généralisa aux milieux continus. En 1933, Fritz Zwicky appliqua le théorème à l'amas de la Chevelure de Bérénice et obtint un rapport masse-luminosité d'environ 500 masses solaires, concluant à la présence de matière non lumineuse. Depuis lors, la méthode virielle est devenue un outil standard en astronomie extragalactique.
Procédure de base : à partir des vitesses radiales mesurées des galaxies dans un amas, on calcule la dispersion des vitesses σ ; puis 2×(½Mσ²) ≈ GM²/R, d'où la masse M ∝ σ²R. La méthode ne nécessite pas de connaître la forme de la distribution de masse, mais suppose la stationnarité, l'isolement et un temps de relaxation suffisant. En physique des plasmas, le théorème est utilisé pour analyser la stabilité des configurations magnétiques. Lors d'évolutions rapides (fusions d'amas) ou dans des systèmes avec des forces à longue portée sans potentiel, les estimations virielles peuvent entraîner des erreurs significatives.
Mesure de la masse totale des galaxies, amas et nuages à partir des vitesses de leurs parties ; vérification de la stabilité des condensations proto-stellaires.
Le mot « viriel » (du latin vis — force) a été inventé par Clausius lui-même ; il l'utilisait initialement pour décrire les états d'équilibre des gaz.
| M | variable | Total mass of the system — masse kilogram |
| R | variable | Characteristic radius of the system — rayon metre |
| v | variable | Velocity dispersion (typical random velocity) — dispersion des vitesses metre per second |
| G | constante | Constant of universal gravitation — constante gravitationnelle = 6.67430e-11 cubic metre per kilogram per second squared |
| P(A|B) | variable | Conditional probability of A given B — conditional probability |
| P(B|A) | variable | Conditional probability of B given A — conditional probability |
| P(A) | variable | Marginal probability of A — probabilité |
| P(B) | variable | Marginal probability of B — probabilité |
| Bi | variable | Bingham number — bingham number |
| σ_y | variable | Yield stress of the material — yield stress pascal |
| σ_prop | variable | Characteristic propulsion stress — propulsion stress pascal |
| u | variable | zonal wind component — vitesse metre per second |
| z | variable | vertical coordinate — longueur metre |
| Θ | variable | potential temperature — température kelvin |
| y | variable | meridional coordinate — longueur metre |
| f | constante | Coriolis parameter, twice the planetary rotation rate times sine of latitude — coriolis parameter = 1.458e-4 per second |
| g | constante | standard acceleration due to gravity at Earth's surface — accélération gravitationnelle = 9.80665 metre per second squared |
| Θ₀ | constante | constant reference potential temperature of the background state — reference potential temperature = 300 kelvin |
| ∂/∂z | opérateur | vertical derivative — dérivée partielle |
| ∂/∂y | opérateur | meridional derivative — dérivée partielle |
| s | variable | Binding energy ratio — binding energy ratio |
| E_bind | variable | Gravitational binding energy — énergie joule |
| E_kin | variable | Kinetic energy — énergie joule |
| / | opérateur | Divides binding energy by kinetic energy — division |
| Γ₁₂ | variable | Mutual coherence function — mutual coherence function watt per metre squared |
| u | variable | Spatial frequency in x-direction — spatial frequency cycle per metre |
| v | variable | Spatial frequency in y-direction — spatial frequency cycle per metre |
| I | variable | Intensity distribution over source — intensité watt per metre squared |
| l | variable | Direction cosine in x — direction cosine |
| m | variable | Direction cosine in y — direction cosine |
| ∬ | opérateur | Integration over the source plane — double integral |













