théorème

théorème du viriel

The virial theorem relates the average kinetic energy of a system to its potential energy.
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Description

Rudolf Clausius, en 1870, en étudiant le lien entre la chaleur et le travail mécanique, a établi le théorème du viriel. Il relie l'énergie cinétique moyenne d'un système de particules au « viriel » — la demi-somme des produits scalaires des forces par les coordonnées. Pour les forces décroissant en 1/r (gravitation, électricité), le théorème donne un résultat élégant : 2⟨T⟩ = –⟨U⟩. Fritz Zwicky, en 1933, appliqua cette relation à l'amas de la Chevelure de Bérénice et découvrit que la masse visible manquait environ d'un facteur cent — ainsi naquit l'idée de la matière noire.

Histoire

Clausius démontra le théorème en 1870 dans le cadre de la théorie mécanique de la chaleur. Plus tard, Poincaré le généralisa aux milieux continus. En 1933, Fritz Zwicky appliqua le théorème à l'amas de la Chevelure de Bérénice et obtint un rapport masse-luminosité d'environ 500 masses solaires, concluant à la présence de matière non lumineuse. Depuis lors, la méthode virielle est devenue un outil standard en astronomie extragalactique.

Comment ça marche

Procédure de base : à partir des vitesses radiales mesurées des galaxies dans un amas, on calcule la dispersion des vitesses σ ; puis 2×(½Mσ²) ≈ GM²/R, d'où la masse M ∝ σ²R. La méthode ne nécessite pas de connaître la forme de la distribution de masse, mais suppose la stationnarité, l'isolement et un temps de relaxation suffisant. En physique des plasmas, le théorème est utilisé pour analyser la stabilité des configurations magnétiques. Lors d'évolutions rapides (fusions d'amas) ou dans des systèmes avec des forces à longue portée sans potentiel, les estimations virielles peuvent entraîner des erreurs significatives.

En pratique

Mesure de la masse totale des galaxies, amas et nuages à partir des vitesses de leurs parties ; vérification de la stabilité des condensations proto-stellaires.

Anecdote

Le mot « viriel » (du latin vis — force) a été inventé par Clausius lui-même ; il l'utilisait initialement pour décrire les états d'équilibre des gaz.

Concept graph →

Formules

$$M = \frac{R v^2}{G}$$
Mass relates to radius and velocity dispersion.
Ce qu'il y a dans la formule
MvariableTotal mass of the system — masse kilogram
RvariableCharacteristic radius of the system — rayon metre
vvariableVelocity dispersion (typical random velocity) — dispersion des vitesses metre per second
GconstanteConstant of universal gravitation — constante gravitationnelle = 6.67430e-11 cubic metre per kilogram per second squared
m<\frac{r_{phot}v_{blue,95\%}^2}{2g} · 2606.30711
$$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$
Relates conditional and marginal probabilities.
Ce qu'il y a dans la formule
P(A|B)variableConditional probability of A given B — conditional probability
P(B|A)variableConditional probability of B given A — conditional probability
P(A)variableMarginal probability of A — probabilité
P(B)variableMarginal probability of B — probabilité
\frac{p(hj|comp)}{p(hj)}=\frac{p(comp|hj)}{p(comp)} · 2607.10177
p(θ|\mathcal{d})\propto\prod_ip(\mathcal{d}_i|θ)p(θ) · 2607.13930
p(h_0|\{x\},cat)\propto\mathcal{l}(\{x\}|h_0,cat)*π(h_0) · 2607.17284v1
$$\mathrm{Bi} = \frac{\sigma_y}{\sigma_{\text{prop}}}$$
Bingham number compares yield stress to propulsion stress.
Ce qu'il y a dans la formule
BivariableBingham number — bingham number
σ_yvariableYield stress of the material — yield stress pascal
σ_propvariableCharacteristic propulsion stress — propulsion stress pascal
{bi}=\frac{σ_y}{σ_{{prop}}} · 2607.10734
$$f\frac{\partial u}{\partial z} = -\frac{g}{\Theta_0} \frac{\partial \Theta}{\partial y}$$
Relates vertical wind shear to horizontal temperature gradient.
Ce qu'il y a dans la formule
uvariablezonal wind component — vitesse metre per second
zvariablevertical coordinate — longueur metre
Θvariablepotential temperature — température kelvin
yvariablemeridional coordinate — longueur metre
fconstanteCoriolis parameter, twice the planetary rotation rate times sine of latitude — coriolis parameter = 1.458e-4 per second
gconstantestandard acceleration due to gravity at Earth's surface — accélération gravitationnelle = 9.80665 metre per second squared
Θ₀constanteconstant reference potential temperature of the background state — reference potential temperature = 300 kelvin
∂/∂zopérateurvertical derivative — dérivée partielle
∂/∂yopérateurmeridional derivative — dérivée partielle
r\sinθ\frac{\partialω^2}{\partialz}=\frac{g}{\theta_0r}\frac{\partial\theta}{\partialθ} · 2607.19730v1
$$s = \frac{E_{\text{bind}}}{E_{\text{kin}}}$$
Ratio of gravitational binding energy to kinetic energy.
Ce qu'il y a dans la formule
svariableBinding energy ratio — binding energy ratio
E_bindvariableGravitational binding energy — énergie joule
E_kinvariableKinetic energy — énergie joule
/opérateurDivides binding energy by kinetic energy — division
s=\frac{e_{{bind}}}{e_{{kin}}}=\frac{gm_1m_2/(2a)}{\frac{1}{2}μv_\infty^2} · 2607.16763v1
$$\Gamma_{12}(u,v) = \iint I(l,m) e^{-2\pi i (ul+vm)} dl dm$$
The correlation function is the Fourier transform of the intensity distribution.
Ce qu'il y a dans la formule
Γ₁₂variableMutual coherence function — mutual coherence function watt per metre squared
uvariableSpatial frequency in x-direction — spatial frequency cycle per metre
vvariableSpatial frequency in y-direction — spatial frequency cycle per metre
IvariableIntensity distribution over source — intensité watt per metre squared
lvariableDirection cosine in x — direction cosine
mvariableDirection cosine in y — direction cosine
∬opérateurIntegration over the source plane — double integral
\gamma_{12}(u,v)=\iinti(l,m)e^{-2πi(ul+vm)}dldm · 2607.14928

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