Бросьте горсть песка на пол: крупных песчинок мало, мелких — много, а совсем крошечных — ещё больше. Такой перекос, когда маленькие события случаются часто, а большие редко, описывается степенным законом. Он встречается в размерах городов, силе землетрясений, числе цитирований научных статей.
Чтобы понять, откуда берётся этот закон, физики взяли самую простую модель — твёрдые шарики, которые сталкиваются и обмениваются энергией. В равновесии их скорости подчиняются другому закону — колоколообразной кривой Максвелла-Больцмана. Но если шарики только начали разгоняться, или в систему постоянно подбрасывают новые быстрые частицы, картина меняется: энергии выстраиваются в степенную зависимость.
Ключевое условие — отсутствие характерного масштаба. В равновесии у системы есть типичная энергия, вокруг которой всё группируется. Вдали от равновесия такой точки нет: энергии могут быть любыми, и это порождает самоподобие — маленький кусочек графика похож на весь график. Именно такое самоподобие мы видим в изломанной береговой линии или ветвящемся дереве.
Открытость тоже важна. Если постоянно добавлять частицы с разными энергиями, система не успевает прийти к равновесию и остаётся в промежуточном состоянии, где и работает степенной закон. Показатель степени зависит только от того, как быстро добавляют частицы, а не от деталей их столкновений. Поэтому так много разных систем — от пыли до галактик — подчиняются одному и тому же закону.
Степенной закон описывает частоту слов в языке: второе по частоте слово встречается примерно вдвое реже первого, третье — втрое реже, и так далее. Это закон Ципфа, открытый на примере «Улисса» Джойса.