Статистическое распределение, в котором несколько крупных событий доминируют, а множество мелких происходят часто; характерно для сложных систем.Степенной закон — это статистическое распределение, в котором вероятность события пропорциональна степени его размера: P(x) ∝ x⁻ᵅ, где α > 1. Это означает, что крупные события редки, но не пренебрежимо малы, а мелкие события часты, но не доминируют. В отличие от нормального распределения, которое группируется вокруг среднего значения, степенные законы имеют «тяжёлые хвосты» — вероятность экстремальных значений убывает медленно. Они встречаются в самых разных природных и социальных явлениях: от магнитуд землетрясений и размеров городов до частот слов и числа ссылок на веб-страницу.
Концепция была впервые формализована Вильфредо Парето в 1896 году, когда он заметил, что распределение доходов подчиняется степенному закону (распределение Парето). Позже оно было обнаружено во многих других контекстах, и термин «степенной закон» стал общеупотребительным в XX веке, особенно благодаря работам Бенуа Мандельброта по фрактальной геометрии и закону Ципфа в лингвистике.
Ключевое свойство — масштабная инвариантность: если умножить размер x на константу, форма распределения останется той же с точностью до масштабного множителя. Это означает, что характерного масштаба не существует — одна и та же закономерность сохраняется на многих порядках величины. На практике степенные законы часто возникают из мультипликативных процессов, таких как эффект «богатые становятся богаче» (предпочтительное присоединение), или в системах вблизи критической точки, где флуктуации охватывают все масштабы. Показатель α определяет, насколько тяжёлым является хвост: меньший α означает больше экстремальных событий.
Он используется при оценке рисков стихийных бедствий (землетрясения, наводнения), в науке о сетях для моделирования интернета и социальных сетей, в финансах для моделирования биржевых крахов, а также в экологии для описания распределения обилия видов.
Размеры кратеров на Луне, интенсивность солнечных вспышек и число цитирований научных статей подчиняются степенным законам, что указывает на универсальный механизм роста и фрагментации.
