Два фотографа снимают одну и ту же гору. Один делает сотню кадров с вершины и лишь пару у подножия, другой — наоборот. Если попытаться совместить их снимки, алгоритм может решить, что вершина на одном снимке соответствует вершине на другом просто потому, что там много похожих точек, а не потому, что это одно и то же место. Плотность съёмки сбивает с толку.
Обычный метод — энтропийное оптимальное транспортирование — строит план переноса, который учитывает и похожесть точек, и их количество. Но если плотности сильно различаются, он может выдать геометрически неверные пары. Авторы статьи предлагают пересчёт с весами: можно ослабить влияние плотности настолько, насколько нужно, вплоть до полного игнорирования. Это как дать алгоритму очки, которые убирают блики от неравной съёмки.
На модельных данных метод восстанавливает геометрически точные соответствия и превосходит существующие подходы, когда плотности точек сильно различаются. Это полезно в медицине, биологии, астрономии — везде, где нужно сравнивать формы, а не количество наблюдений.
Оптимальное транспортирование придумали ещё в XVIII веке, чтобы рассчитать, как дешевле всего перевезти землю из котлована в насыпь. Сегодня оно помогает сравнивать изображения, тексты и даже клетки.