частная производная — из анатомии формулЧастная производная показывает, как изменяется функция, когда меняется только одна из её нескольких переменных, а все остальные остаются постоянными. Она является краеугольным камнем многомерного исчисления и встречается повсюду в физике — от термодинамики (где давление, объём и температура взаимосвязаны) до теорий поля (где поля зависят от пространства и времени). Обозначение ∂f/∂x означает частную производную функции f по переменной x.
Концепция была разработана в XVIII веке такими математиками, как Леонард Эйлер и Жозеф-Луи Лагранж, которые расширили дифференциальное исчисление на функции нескольких переменных. Современное обозначение ∂ было введено маркизом де Кондорсе в 1770 году и популяризировано Карлом Густавом Якобом Якоби в XIX веке.
Чтобы вычислить частную производную, все переменные, кроме интересующей, рассматриваются как константы, и дифференцирование проводится как в обычном исчислении. Например, если f(x, y) = x²y + sin(y), то ∂f/∂x = 2xy, а ∂f/∂y = x² + cos(y). Частные производные используются для построения градиентов, дивергенций и роторов в векторном исчислении, а также появляются в дифференциальных уравнениях, таких как волновое уравнение и уравнение Шрёдингера.
Частные производные применяются в оптимизации (например, в градиентном спуске в машинном обучении), при решении дифференциальных уравнений в частных производных для гидродинамики и электромагнетизма, а также при анализе распространения ошибок в экспериментальной физике.
В термодинамике четыре соотношения Максвелла выводятся из равенства смешанных частных производных, связывая такие величины, как температура, давление, энтропия и объём.
| c_s | переменная | скорость звука — sound speed м/с |
| P | переменная | давление скалярного поля — давление Па |
| X | переменная | кинетический член, -1/2 (∂φ)^2 — kinetic energy density Дж/м³ |
| P_X | переменная | частная производная P по X — частная производная |
| P_XX | переменная | вторая частная производная P по X — second partial derivative |
| v | переменная | нулевая координата (например, запаздывающее время) — null coordinate м |
| r | переменная | радиальная координата — радиальная координата м |
| ∂_v | оператор | дифференцирование по нулевой координате — частная производная |
| P | переменная | Плотность вероятности — probability density 1/м³ |
| \Psi | переменная | Волновая функция — волновая функция per metre cubed half |
| \Psi^* | переменная | Комплексно сопряжённая волновая функция — wave function conjugate per metre cubed half |
| t | переменная | Время — время с |
| \frac{\partial}{\par | оператор | Частная производная по времени — частная производная |
| ψ | переменная | волновая функция квантовой частицы — волновая функция м⁻³ᐟ² |
| t | переменная | время — время с |
| V | переменная | потенциальная энергия (здесь самогравитирующая) — потенциальная энергия Дж |
| m | переменная | масса частицы — масса кг |
| ħ | константа | Редуцированная постоянная Планка, фундаментальный квант действия — приведённая постоянная Планка = 1.054571817e-34 Дж·с |
| ∂/∂t | оператор | частная производная по времени — частная производная |
| ∇² | оператор | оператор Лапласа (вторая пространственная производная) — laplacian operator |
| β_ρ | переменная | бета-функция для ρ Дж/м³ |
| M | переменная | масштаб ренормализации — энергия Дж |
| ρ | переменная | бегущий параметр Дж/м³ |
| ∂/∂M | оператор | частная производная по масштабу M — частная производная |
| ΔT | переменная | изменение температуры — температура К |
| T | переменная | абсолютная температура — температура К |
| C_p | переменная | теплоёмкость при постоянном давлении — теплоёмкость Дж/К |
| S | переменная | энтропия — энтропия Дж/К |
| ΔP | переменная | изменение давления — давление Па |
| ∂/∂P | оператор | частная производная по давлению при постоянной температуре — частная производная |