приведённая постоянная Планка

Описание

Приведённая постоянная Планка, обозначаемая ħ (аш-перечёркнутое), равна постоянной Планка h, делённой на 2π. Это фундаментальная единица действия в квантовой механике, задающая масштаб, на котором квантовые эффекты становятся доминирующими. В то время как постоянная Планка появляется в соотношении энергия–частота E = hν, приведённая форма естественным образом возникает в момент импульса, волновой механике и уравнении Шрёдингера, где фазы изменяются на 2π на длину волны.

История

Введена Полем Дираком в его статьях по квантовой механике 1926 года, который обозначил её как h/2π, чтобы упростить уравнения, убрав повторяющийся множитель 2π.

Как это работает

В квантовой механике ħ квантует момент импульса: момент импульса любой системы является целым или полуцелым кратным ħ. Она также появляется в соотношении неопределённостей Δx·Δp ≥ ħ/2 и в соотношении де Бройля p = ħk, где k — волновое число. Множитель 2π возникает потому, что полный цикл волны соответствует 2π радианам, что делает ħ естественной единицей для объёма фазового пространства.

Где применяется

Используется во всех квантовомеханических расчётах: от атомных энергетических уровней и физики полупроводников до квантовых вычислений и стандартной модели физики элементарных частиц.

Любопытный факт

Значение ħ приблизительно равно 1,0545718 × 10⁻³⁴ джоуль-секунд, что настолько мало, что макроскопический объект, такой как бейсбольный мяч, имеет момент импульса порядка 10³⁴ ħ.

Граф понятий →

Формулы

$$E_n = \hbar\omega (n + \tfrac{1}{2})$$

Уровни энергии квантового гармонического осциллятора.

Что в формуле

E_n	переменная	Энергия n-го уровня — энергия Дж
n	переменная	Квантовое число (неотрицательное целое) — квантовое число
\hbar	константа	Приведённая постоянная Планка — приведённая постоянная Планка = 1.054571817e-34 Дж·с
\omega	константа	Угловая частота осциллятора — угловая частота рад/с

$$\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$$

Минимальная неопределённость координаты и импульса.

Что в формуле

\Delta x	переменная	Стандартное отклонение координаты — неопределённость координаты м
\Delta p	переменная	Стандартное отклонение импульса — momentum uncertainty кг·м/с
\hbar	константа	Редуцированная постоянная Планка — приведённая постоянная Планка = 1.054571817e-34 Дж·с

$$T \approx \exp\left(-2\int_{z_1}^{z_2} \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}(V(z)-E)}\, dz\right)$$

Приближённая вероятность квантового туннелирования через барьер.

Что в формуле

T	переменная	вероятность туннелирования — transmission probability
z1	переменная	левая точка поворота барьера — положение м
z2	переменная	правая точка поворота барьера — положение м
m	переменная	масса туннелирующей частицы — масса кг
V	переменная	потенциальная энергия как функция координаты — потенциальная энергия Дж
E	переменная	энергия частицы — энергия Дж
ħ	константа	фундаментальный квант действия, делённый на 2π — приведённая постоянная Планка = 1.054571817e-34 Дж·с
∫	оператор	суммирует подынтегральное выражение по интервалу — интеграл
√	оператор	берёт неотрицательный корень — квадратный корень
exp	оператор	возводит e в заданную степень — exponential

$$\frac{d\rho}{dt} = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho] + \sum_n \left( L_n \rho L_n^\dagger - \frac{1}{2} \{ L_n^\dagger L_n, \rho \} \right)$$

Описывает эволюцию открытой квантовой системы с диссипацией.

Что в формуле

ρ	переменная	матрица плотности открытой квантовой системы — матрица плотности
t	переменная	время — время с
H	переменная	гамильтониан системы — гамильтониан Дж
L_n	переменная	операторы Линдблада (операторы перехода) для каждого канала диссипации — lindblad operator
i	константа	мнимая единица, квадратный корень из -1 — мнимая единица = 1
ħ	константа	постоянная Планка, делённая на 2π — приведённая постоянная Планка = 1.054571817e-34 Дж·с
d/dt	оператор	производная по времени — производная по времени
[H, ρ]	оператор	коммутатор H и ρ — коммутатор
{L_n† L_n, ρ}	оператор	антикоммутатор L_n† L_n и ρ — anticommutator
∑_n	оператор	сумма по всем каналам диссипации — sum over channels

$$P \sim e^{-\frac{2\pi M c^2}{\hbar a}}$$

Вероятность регистрации частицы экспоненциально убывает с массой и ускорением.

Что в формуле

P	переменная	Вероятность регистрации частицы — вероятность
M	переменная	Масса частицы — масса кг
a	переменная	Собственное ускорение детектора — acceleration м/с²
c	константа	Скорость света в вакууме — скорость света = 299792458 м/с
ħ	константа	Приведённая постоянная Планка — приведённая постоянная Планка = 1.054571817e-34 Дж·с

$$\psi = R e^{iS/\hbar}$$

Квантовая волновая функция, выраженная через амплитуду и фазу.

Что в формуле

ψ	переменная	Квантовая волновая функция — волновая функция м⁻³ᐟ²
R	переменная	Действительная амплитуда волновой функции — probability amplitude м⁻³ᐟ²
S	переменная	Фаза волновой функции (действие) — действие Дж·с
ℏ	константа	Фундаментальная постоянная, задающая масштаб квантовых явлений — приведённая постоянная Планка = 1.054571817e-34 Дж·с
e^{iS/ℏ}	оператор	Комплексный фазовый множитель, описывающий осцилляторное поведение — complex exponential

приведённая постоянная Планка

Описание

История

Как это работает

Где применяется

Любопытный факт

Формулы

Статьи по теме · 0