экспоненциальная функция — из анатомии формулЭкспоненциальная функция, часто записываемая как exp(x) или e^x, — это математическая функция, скорость роста которой пропорциональна её текущему значению. Она определяется как единственная функция, являющаяся своей собственной производной, с основанием e (приблизительно 2,71828). Эта функция встречается в физике повсюду, когда величина изменяется со скоростью, пропорциональной самой себе, например, при радиоактивном распаде, росте популяции или остывании горячего объекта.
Экспоненциальная функция была введена Леонардом Эйлером в XVIII веке, который также установил соотношение e^(iπ) + 1 = 0, связав её с тригонометрией и комплексными числами.
Экспоненциальная функция может быть определена через бесконечный ряд e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ..., который сходится для всех вещественных и комплексных x. Её определяющее свойство, d/dx e^x = e^x, делает её решением дифференциального уравнения dy/dx = ky, где k — постоянная. Это уравнение моделирует процессы, в которых скорость изменения пропорциональна имеющемуся количеству, что приводит к экспоненциальному росту (k>0) или затуханию (k<0).
Экспоненциальные функции используются в физике для описания радиоактивного распада, разряда конденсатора, изменения атмосферного давления с высотой и временной эволюции квантовых состояний в виде комплексных экспонент.
Экспоненциальная функция настолько важна, что появляется в уравнении Шрёдингера, где временная эволюция квантового состояния задаётся комплексной экспонентой от гамильтониана.
| f(x_i) | переменная | предсказание модели при входном значении x_i — значение функции |
| y_i | переменная | наблюдаемая точка данных — data value |
| σ_i | переменная | стандартное отклонение ошибки измерения — стандартное отклонение |
| ∏ | оператор | Произведение по всем точкам данных i — оператор произведения |
| exp | оператор | Экспоненциальная функция — экспоненциальная функция |
| N_i | переменная | Число частиц в состоянии i — число частиц |
| N | переменная | Полное число частиц — число частиц |
| g_i | переменная | Вырождение состояния i — вырождение |
| E_i | переменная | Энергия состояния i — энергия Дж |
| T | переменная | Абсолютная температура — температура К |
| k | константа | Связывает энергию с температурой на уровне частиц — постоянная Больцмана = 1.380649e-23 Дж/К |
| e^{-E_i/kT} | оператор | Экспонента от отрицательной энергии, делённой на kT — экспоненциальная функция |
| x | переменная | входная точка — input variable |
| x' | переменная | другая входная точка — input variable |
| σ | переменная | амплитуда сигнала — амплитуда |
| ℓ | переменная | масштаб длины — length scale |
| exp | оператор | возводит e в заданную степень — экспоненциальная функция |
| s | переменная | значение сигмоидальной функции — sigmoid function |
| ζ | переменная | входной аргумент — argument |
| a | переменная | параметр крутизны — steepness parameter |
| exp | оператор | возводит e в заданную степень — экспоненциальная функция |
| P(v) | переменная | Плотность вероятности скорости v — probability density с/м |
| v | переменная | Скорость частицы — скорость м/с |
| σ | переменная | Масштабный параметр, связанный с температурой — speed scale м/с |
| exp | оператор | Экспоненциальная функция — экспоненциальная функция |
| √ | оператор | Квадратный корень — квадратный корень |