вторая производная — из анатомии формулВторая производная показывает, как скорость изменения величины меняется сама. Если первая производная функции говорит о её наклоне или скорости, то вторая производная — это наклон наклона, то есть ускорение величины. В физике она встречается повсюду: второй закон Ньютона связывает силу со второй производной координаты (ускорением), а волновое уравнение связывает вторые производные по пространству и времени.
Понятие возникло с развитием математического анализа в конце XVII века, прежде всего благодаря работам Исаака Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница, которые формализовали производные любого порядка.
Для функции f(x) первая производная f'(x) даёт мгновенную скорость изменения. Вторая производная f''(x) — это производная от f'(x), вычисляемая повторным применением того же предельного перехода. Геометрически она указывает на выпуклость: положительная означает, что функция изгибается вверх, отрицательная — вниз, а нулевая отмечает точку перегиба. В движении, если x(t) — координата, то x''(t) — ускорение, то есть быстрота изменения скорости.
Используется в инженерии для анализа вибраций (вторая производная перемещения даёт ускорение), в экономике для предельной отдачи, а в физике — для вывода уравнений движения и распространения волн.
Вторая производная прямой линии всегда равна нулю, поэтому движение с постоянной скоростью ощущается плавным — без ускорения.
| f''(x) | переменная | Вторая производная функции f в точке x — вторая производная 1/м² |
| f(x+h) | переменная | Значение функции в точке x+h — значение функции |
| f(x-h) | переменная | Значение функции в точке x-h — значение функции |
| f(x) | переменная | Значение функции в точке x — значение функции |
| h | переменная | Шаг — spacing м |
| \approx | оператор | Приближённо равно — приближение |
| \psi | переменная | волновая функция — волновая функция |
| x | переменная | координата положения — положение м |
| k | переменная | волновое число — волновое число 1/м |
| V(x) | переменная | функция потенциала — потенциальная энергия Дж |
| \frac{d^2}{dx^2} | оператор | вторая производная по координате — вторая производная |
| ψ | переменная | волновая функция — волновая функция |
| x | переменная | координата положения — положение м |
| V(x) | переменная | функция потенциальной энергии — потенциальная энергия Дж |
| E | переменная | собственное значение энергии — энергия Дж |
| d²/dx² | оператор | вторая производная по координате — вторая производная |
| V | переменная | эффективный потенциал — потенциальная энергия Дж |
| f | переменная | функция, кривизна которой определяет потенциал |
| x | переменная | независимая переменная — положение м |
| d²/dx² | оператор | вторая производная по x — вторая производная |
| z | переменная | масштабный фактор или красное смещение в зависимости от контекста — масштабный фактор |
| ν | переменная | индекс Ханкеля — hankel index |
| τ | переменная | конформное время — conformal time с |
| '' | оператор | вторая производная по независимой переменной (здесь — по конформному времени) — вторая производная |
