Теорема Пуанкаре о возвращении утверждает, что определённые системы по прошествии достаточно долгого времени возвращаются сколь угодно близко к своему исходному состоянию.Колода карт — это механическая система с конечным числом состояний. Перетасовка меняет порядок, но общее число раскладов фиксировано. Рано или поздно любая последовательность повторится, и колода вернётся к начальному виду. В 1890 году Анри Пуанкаре перенёс эту идею на физические системы. Он доказал, что в замкнутой консервативной системе, где энергия ограничена, а фазовое пространство (воображаемый многомерный зал, где каждая точка — это все координаты и скорости частиц) имеет конечный объём, траектория рано или поздно подходит сколь угодно близко к стартовой точке. Время такого возврата чудовищно велико — для моля газа в обувной коробке оно составляет 10 в степени 10²³ секунд. Это число невозможно записать в видимой Вселенной. Теорема Пуанкаре разрешила парадокс: как обратимые законы Ньютона могут приводить к необратимому росту энтропии. Ответ — в масштабах времени.
Анри Пуанкаре доказал теорему в 1890 году в трактате «О проблеме трёх тел и об уравнениях динамики». В тот период он участвовал в конкурсе короля Швеции и Норвегии Оскара II на решение задачи об устойчивости Солнечной системы. Изучая ограниченную задачу трёх тел, Пуанкаре столкнулся с хаотическим поведением траекторий и необходимостью описания их долговременной судьбы. Ему удалось показать, что фазовая траектория ограниченной системы рано или поздно возвращается вблизи начальной точки. Позднее выяснилось, что аналогичные соображения высказывал ещё Джеймс Клерк Максвелл, рассуждая о молекулярной динамике, а также Ларс Онсагер в контексте статистической механики. В XX веке теорема приобрела фундаментальное значение для понимания связи между обратимой микроскопической динамикой и необратимой термодинамикой. Работы Ильи Пригожина о неравновесных процессах также опираются на концепцию рекурренции.
Теорема находит приложения в статистической механике, эргодической теории и теории динамических систем. На практике она задаёт грань применимости второго начала термодинамики: энтропия изолированной системы может на коротких по сравнению с временем Пуанкаре интервалах расти, но в конце концов должна вернуться к низким значениям. В астрофизике рекуррентные процессы рассматриваются для хаотических орбит небесных тел, однако временные масштабы делают их ненаблюдаемыми. В квантовой информатике память о начальном состоянии в замкнутой системе не исчезает полностью, что используется в протоколах коррекции ошибок.
Теорема объясняет, почему в изолированной комнате запах духов не исчезает бесследно, а лишь рассеивается — и может самопроизвольно собраться обратно во флакон, хотя ждать придётся невообразимо долго. На практике это ограничивает применимость второго начала термодинамики для замкнутых систем.
Эрнст Цермело пытался опровергнуть Больцмана с помощью этой теоремы: если всё возвращается, то энтропия не может расти вечно. Больцман парировал: «Времени ждать придётся так долго, что к моменту возврата любое живое существо успеет переродиться бесконечное число раз».