Euler's formula is a mathematical equation that establishes the deep relationship between trigonometric functions and the complex exponential function.في عام 1748 نشر ليونهارد أويلر صيغة تربط الجبر والهندسة والتحليل الرياضي: e^{iθ} = cos θ + i sin θ. وهي تنتج عن مفكوك الدوال إلى متسلسلات قوى. تنبه أويلر إلى أن الدالة الأسية ذات الأساس التخيلي تسلك سلوك نقطة تدور على دائرة، مما شكل حلقة وصل بين الجبر والهندسة. جمعت المتطابقة e^{iπ} + 1 = 0 خمسة من أهم الثوابت الرياضية في معادلة واحدة، ويعتبرها كثيرون الأجمل في الرياضيات. أصبحت صيغة أويلر أساسًا لتحليل الاهتزازات والموجات والحالات الكمومية.
صاغ أويلر الصيغة عام 1748 بمفكوك e^x وsin x وcos x في متسلسلات تايلور والتعويض بـ ix. وقد سبق علماء مسلمون مثل الخوارزمي والبتاني في تطوير الجبر وحساب المثلثات مما مهد الطريق. وضع هذا الاكتشاف أساس التحليل المركب (كوشي، ريمان). في عشرينيات القرن العشرين استخدمها شرودنغر لوصف الدوال الموجية ربطًا بالتطور الزمني عبر مؤثر الطاقة.
في الهندسة الكهربائية يحول استبدال الكميات الجيبية بأسيات مركبة المعادلات التفاضلية إلى جبرية. وفي معالجة الإشارات يفكك تحويل فورييه الدوال إلى مجموع أسيات ذات أسس تخيلية. الحدود: التمثيل صحيح للدوال التحليلية؛ في التحليلات غير القياسية تُعرَّف الأسية بديهيًا. وفي نظرية الحقل الكمومي تحتاج التعميمات اللانهائية الأبعاد إلى تنظيم.
تسمح صيغة أويلر للمهندسين بتحليل التيار المتردد في الدوائر الكهربائية وإنشاء رسومات واقعية بأجسام دوارة، وكذلك ضغط الصور في صيغة JPEG.
كان عالم الفيزياء ريتشارد فاينمان من المعجبين بمتطابقة أويلر، ووصفها بأنها «أروع صيغة في الرياضيات»، وكثيرًا ما تتصدر e^{iπ} + 1 = 0 استطلاعات الجمال الرياضي.
| f | متغير | homogeneous function of degree n — homogeneous function |
| x | متغير | independent variable — variable |
| n | متغير | degree of homogeneity — degree |
| f'(x) | مؤثر | derivative of f with respect to x — المشتقة |
| α | متغير | Scaling exponent (same as in power law) |
| K | متغير | Luttinger parameter — luttinger parameter |