الدالة الأسية — من تشريح الصيغةالدالة الأسية، التي تُكتب غالبًا بصيغة exp(x) أو e^x، هي دالة رياضية يكون فيها معدل النمو متناسبًا مع القيمة الحالية. تُعرَّف بأنها الدالة الوحيدة التي تساوي مشتقتها، بأساس e (يساوي تقريبًا 2.71828). تظهر هذه الدالة في جميع أنحاء الفيزياء كلما تغيرت كمية بمعدل يتناسب مع ذاتها، مثل الاضمحلال الإشعاعي، أو النمو السكاني، أو تبريد جسم ساخن.
أدخل ليونارد أويلر الدالة الأسية في القرن الثامن عشر، وهو أيضًا من أسس العلاقة e^(iπ) + 1 = 0، التي تربطها بعلم المثلثات والأعداد المركبة.
يمكن تعريف الدالة الأسية بواسطة المتسلسلة اللانهائية e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...، والتي تتقارب لجميع القيم الحقيقية والمركبة لـ x. خاصيتها المميزة، d/dx e^x = e^x، تجعلها حلًا للمعادلة التفاضلية dy/dx = ky، حيث k ثابت. تصف هذه المعادلة العمليات التي يكون فيها معدل التغير متناسبًا مع الكمية الموجودة، مما يؤدي إلى نمو أسي (k>0) أو اضمحلال أسي (k<0).
تُستخدم الدوال الأسية في الفيزياء لوصف الاضمحلال الإشعاعي، وتفريغ المكثف، والضغط الجوي مع الارتفاع، والتطور الزمني للحالات الكمومية في صورة دوال أسية مركبة.
الدالة الأسية مهمة جدًا لدرجة أنها تظهر في معادلة شرودنغر، حيث يُعطى التطور الزمني للحالة الكمومية بدالة أسية مركبة للمؤثر هاملتوني.
| f(x_i) | متغير | model prediction at input x_i — قيمة دالة |
| y_i | متغير | observed data point — data value |
| σ_i | متغير | standard deviation of measurement error — انحراف معياري |
| ∏ | مؤثر | Product over all data points i — مشغل الضرب |
| exp | مؤثر | Exponential function — الدالة الأسية |
| N_i | متغير | Number of particles in state i — عدد الجسيمات |
| N | متغير | Total number of particles — عدد الجسيمات |
| g_i | متغير | Degeneracy of state i — انحلال |
| E_i | متغير | Energy of state i — طاقة joule |
| T | متغير | Absolute temperature — درجة الحرارة kelvin |
| k | ثابت | Relates energy to temperature at the particle level — ثابت بولتزمان = 1.380649e-23 joule per kelvin |
| e^{-E_i/kT} | مؤثر | Exponential of the negative energy over kT — الدالة الأسية |
| x | متغير | input point — input variable |
| x' | متغير | another input point — input variable |
| σ | متغير | signal amplitude — سعة |
| ℓ | متغير | length scale — length scale |
| exp | مؤثر | raises e to the given power — الدالة الأسية |
| s | متغير | sigmoid function value — sigmoid function |
| ζ | متغير | input argument — argument |
| a | متغير | steepness parameter — steepness parameter |
| exp | مؤثر | raises e to the given power — الدالة الأسية |
| P(v) | متغير | Probability density of speed v — probability density second per metre |
| v | متغير | Speed of a particle — سرعة metre per second |
| σ | متغير | Scale parameter related to temperature — speed scale metre per second |
| exp | مؤثر | Exponential function — الدالة الأسية |
| √ | مؤثر | Square root — جذر تربيعي |