مشتقة جزئية — من تشريح الصيغةالمشتقة الجزئية تقيس كيفية تغير دالة عندما يتغير متغير واحد فقط من متغيراتها المتعددة، بينما تبقى جميع المتغيرات الأخرى ثابتة. وهي حجر الزاوية في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات وتظهر في جميع أنحاء الفيزياء، من الديناميكا الحرارية (حيث يكون الضغط والحجم ودرجة الحرارة مترابطين) إلى نظريات المجال (حيث تعتمد المجالات على المكان والزمان). الرمز ∂f/∂x يدل على المشتقة الجزئية للدالة f بالنسبة إلى x.
طُوّر هذا المفهوم في القرن الثامن عشر على يد علماء رياضيات مثل ليونارد أويلر وجوزيف-لويس لاغرانج، الذين وسعوا حساب التفاضل والتكامل ليشمل دوالًا ذات عدة متغيرات. الرمز الحديث ∂ أُدخل من قبل ماركيز دي كوندورسيه في عام 1770 وانتشر على يد كارل غوستاف ياكوب ياكوبي في القرن التاسع عشر.
لحساب مشتقة جزئية، تعامل جميع المتغيرات ما عدا المتغير المعني كثوابت وتشتق كما في حساب التفاضل والتكامل العادي. على سبيل المثال، إذا كانت f(x, y) = x²y + sin(y)، فإن ∂f/∂x = 2xy و∂f/∂y = x² + cos(y). تُستخدم المشتقات الجزئية لبناء التدرجات والتباعدات والتدويرات في حساب المتجهات، وتظهر في المعادلات التفاضلية مثل معادلة الموجة ومعادلة شرودنغر.
تُستخدم المشتقات الجزئية في التحسين (مثل نزول التدرج في التعلم الآلي)، وفي حل المعادلات التفاضلية الجزئية لديناميكا الموائع والكهرومغناطيسية، وفي تحليل انتشار الخطأ في الفيزياء التجريبية.
في الديناميكا الحرارية، تُشتق علاقات ماكسويل الأربع من تساوي المشتقات الجزئية المختلطة، وتربط كميات مثل درجة الحرارة والضغط والإنتروبيا والحجم.
| c_s | متغير | sound speed — sound speed metre per second |
| P | متغير | pressure of the scalar field — ضغط pascal |
| X | متغير | kinetic term, -1/2 (∂φ)^2 — kinetic energy density joule per cubic metre |
| P_X | متغير | partial derivative of P with respect to X — مشتقة جزئية |
| P_XX | متغير | second partial derivative of P with respect to X — second partial derivative |
| v | متغير | null coordinate (e.g., advanced time) — null coordinate metre |
| r | متغير | radial coordinate — إحداثي قطري metre |
| ∂_v | مؤثر | differentiates with respect to the null coordinate — مشتقة جزئية |
| P | متغير | Probability density — probability density per metre cubed |
| \Psi | متغير | Wave function — الدالة الموجية per metre cubed half |
| \Psi^* | متغير | Complex conjugate of wave function — wave function conjugate per metre cubed half |
| t | متغير | Time — زمن second |
| \frac{\partial}{\par | مؤثر | Partial derivative with respect to time — مشتقة جزئية |
| ψ | متغير | wave function of the quantum particle — الدالة الموجية metre to the minus 3 over 2 |
| t | متغير | time — زمن second |
| V | متغير | potential energy (here self-gravitating) — الطاقة الكامنة (Potential Energy) joule |
| m | متغير | mass of the particle — كتلة kilogram |
| ħ | ثابت | Reduced Planck constant, fundamental quantum of action — ثابت بلانك المخفض = 1.054571817e-34 joule second |
| ∂/∂t | مؤثر | partial derivative with respect to time — مشتقة جزئية |
| ∇² | مؤثر | Laplacian (spatial second derivative) — laplacian operator |
| β_ρ | متغير | beta function for ρ joule per cubic metre |
| M | متغير | renormalization scale — طاقة joule |
| ρ | متغير | running parameter joule per cubic metre |
| ∂/∂M | مؤثر | partial derivative with respect to scale M — مشتقة جزئية |
| ΔT | متغير | temperature change — درجة الحرارة kelvin |
| T | متغير | absolute temperature — درجة الحرارة kelvin |
| C_p | متغير | heat capacity at constant pressure — السعة الحرارية joule per kelvin |
| S | متغير | entropy — الإنتروبيا joule per kelvin |
| ΔP | متغير | pressure change — ضغط pascal |
| ∂/∂P | مؤثر | partial derivative with respect to pressure at constant temperature — مشتقة جزئية |