المشتقة الزمنية — من تشريح الصيغالمشتقة الزمنية هي عملية رياضية تقيس مدى سرعة تغير كمية ما بالنسبة للزمن. في الفيزياء، تظهر في كل مكان: السرعة هي المشتقة الزمنية للموضع، والتسارع هو المشتقة الزمنية للسرعة، ومعدل تغير الطاقة أو الزخم أو أي كمية قابلة للرصد يُعبَّر عنه من خلال مشتقتها الزمنية. إنها لغة الديناميكا، إذ ترمز إلى قواعد الحركة والتطور للأنظمة الفيزيائية.
طُوِّر مفهوم المشتقة بشكل مستقل من قبل إسحاق نيوتن وغوتفريد فيلهلم لايبنتز في أواخر القرن السابع عشر. أطلق نيوتن عليها اسم 'الفيض' واستخدمها في قوانينه للحركة.
رسميًا، تُعرَّف المشتقة الزمنية للدالة f(t) بأنها نهاية النسبة [f(t+Δt) − f(t)]/Δt عندما تؤول Δt إلى الصفر. وهذا يعطي معدل التغير اللحظي في لحظة واحدة. عمليًا، يستخدم الفيزيائيون هذه المشتقة في المعادلات التفاضلية، مثل قانون نيوتن الثاني (F = m·d²x/dt²) أو معادلة شرودنغر، حيث تحدد المشتقة الزمنية للحالة الكمومية كيفية تطور الحالة.
تُستخدم المشتقات الزمنية في كل محاكاة للأنظمة الفيزيائية، بدءًا من التنبؤ بمدارات الكواكب إلى نمذجة الدوائر الكهربائية وأنماط الطقس.
في ميكانيكا الكم، لا تكون المشتقة الزمنية لكمية قابلة للرصد دائمًا مجرد معدل تغير قيمتها المتوقعة، بل تشمل أيضًا المبدل مع الهاميلتوني.
| ρ | متغير | density matrix of the open quantum system — مصفوفة الكثافة |
| t | متغير | time — زمن second |
| H | متغير | Hamiltonian of the system — هاميلتوني joule |
| L_n | متغير | Lindblad operators (jump operators) for each dissipation channel — lindblad operator |
| i | ثابت | imaginary unit, square root of -1 — الوحدة التخيلية = 1 |
| ħ | ثابت | Planck constant divided by 2π — ثابت بلانك المخفض = 1.054571817e-34 joule second |
| d/dt | مؤثر | derivative with respect to time — مشتقة زمنية |
| [H, ρ] | مؤثر | commutator of H and ρ — مبدل |
| {L_n† L_n, ρ} | مؤثر | anticommutator of L_n† L_n and ρ — anticommutator |
| ∑_n | مؤثر | sum over all dissipation channels — sum over channels |
| q | متغير | Deceleration parameter — deceleration parameter |
| a | متغير | Scale factor of the universe — عامل مقياس |
| t | متغير | Cosmic time — زمن second |
| d/dt | مؤثر | Computes the rate of change over time — مشتقة زمنية |
| d^2/dt^2 | مؤثر | Computes the acceleration over time — second time derivative |
| r | متغير | radial coordinate (distance from center) — نصف قطر metre |
| M(r) | متغير | enclosed mass within radius r — كتلة kilogram |
| k | متغير | constant of motion (related to energy per unit mass) — specific energy metre squared per second squared |
| G | ثابت | Newtonian constant of gravitation, fundamental strength of gravity — ثابت الجاذبية = 6.67430e-11 cubic metre per kilogram per second squared |
| ˙ | مؤثر | derivative with respect to time — مشتقة زمنية |
| L_H | متغير | Instantaneous non-thermal emission (luminosity) — لمعان watt |
| L_S | متغير | Plasma heating rate (energy per time) — قدرة watt |
| \frac{d}{dt} | مؤثر | Computes the rate of change with respect to time — مشتقة زمنية |
| I | متغير | information flow between subsystems — information flow bit per second |
| σ | متغير | entropy production rate — entropy production rate joule per kelvin second |
| A | متغير | activity (a measure of dynamical activity in the system) — activity per second |
| β | متغير | inverse temperature (1/k_B T) — inverse temperature per joule |
| |·|² | مؤثر | squared magnitude — absolute value squared |
| d/dt | مؤثر | derivative with respect to time — مشتقة زمنية |
| concentration | متغير | local concentration of the diffusing species — تركيز mole per cubic metre |
| t | متغير | time — زمن second |
| flux | متغير | diffusive flux vector — diffusive flux mole per square metre per second |
| d/dt | مؤثر | rate of change with respect to time — مشتقة زمنية |
| divergence | مؤثر | measures the net outflow of a vector field per unit volume — divergence operator |
