المشتق اللوغاريتمي — من تشريح الصيغالمشتق اللوغاريتمي لدالة هو مشتق لوغاريتمها الطبيعي، ويُكتب غالبًا على الصورة f'(x)/f(x). وهو يعطي مقياسًا لمعدل التغير النسبي للدالة، مستقلًا عن مقياسها الكلي. وهذا يجعله مفيدًا بشكل خاص في الفيزياء عند التعامل مع كميات تتغير عبر عدة مراتب من الحجم، مثل النمو أو الاضمحلال الأسي، أو في تحليل المعادلات التفاضلية حيث تكون القيمة المطلقة أقل أهمية من معدل التغير بالنسبة للقيمة الحالية.
استُخدم هذا المفهوم ضمنيًا منذ الأيام الأولى لحساب التفاضل والتكامل، لكنه صيغ بشكل رسمي في القرن التاسع عشر في سياق التحليل العقدي والمعادلات التفاضلية، خاصة في أعمال رياضيين مثل كوشي وريمان.
بالنسبة لدالة f(x)، يُحسب المشتق اللوغاريتمي على النحو التالي: d/dx [ln f(x)] = f'(x)/f(x). هذه العملية تبسط الضرب والقوى: فالمشتق اللوغاريتمي لحاصل ضرب دوال يساوي مجموع المشتقات اللوغاريتمية للعوامل، وبالنسبة للقوة f(x)^n يكون n مضروبًا في المشتق اللوغاريتمي لـ f(x). هذه الخاصية تجعله أداة قوية لفصل المتغيرات في المعادلات التفاضلية ولتحليل استقرار الحلول.
يظهر في تحليل الاضمحلال الإشعاعي، وفي دراسة الجهد اللوغاريتمي في الكهروستاتيكا، وفي حل المعادلات التفاضلية الخطية في ميكانيكا الكم وديناميكا الموائع.
في نظرية الدوال الخاصة، يُعرف المشتق اللوغاريتمي لدالة غاما باسم دالة ديغاما، والتي تظهر في العديد من مجالات الفيزياء والإحصاء.
| n_s | متغير | scalar spectral index — مؤشر طيفي قياسي |
| P_R | متغير | power spectrum of curvature perturbations — طيف القدرة |
| k | متغير | wavenumber — عدد موجي reciprocal metre |
| d/d ln k | مؤثر | derivative with respect to natural logarithm of wavenumber — المشتقة اللوغاريتمية |
| Ω_X | متغير | Spectral density of component X — spectral density |
| ρ_tot | متغير | Total energy density of the universe — كثافة طاقة joule per cubic metre |
| ρ_X | متغير | Energy density of component X — كثافة طاقة joule per cubic metre |
| k | متغير | Wavenumber (logarithmic scale) — عدد موجي per metre |
| d/d ln k | مؤثر | Derivative with respect to the natural logarithm of the wavenumber — المشتقة اللوغاريتمية |
| β | متغير | spectral index of opacity |
| κ | متغير | opacity (absorption coefficient) — عتامة square metre per kilogram |
| ν | متغير | frequency of radiation — تردد hertz |
| d/d log ν | مؤثر | derivative with respect to the natural logarithm of frequency — المشتقة اللوغاريتمية |
| n | متغير | density (or control parameter) — number density per metre cubed |
| R | متغير | measured indicator (response) |
| arg max | مؤثر | argument of the maximum: value of n that maximizes the expression — argmax operator |
| d log R / d log n | مؤثر | logarithmic derivative of R with respect to n, measuring relative sensitivity — المشتقة اللوغاريتمية |
| w_eff | متغير | Effective equation of state parameter — معامل معادلة الحالة |
| rho | متغير | Energy density of the cosmic fluid — كثافة طاقة joule per cubic metre |
| a | متغير | Scale factor of the universe — عامل مقياس |
| d/d ln a | مؤثر | Derivative with respect to the logarithm of the scale factor — المشتقة اللوغاريتمية |
